▪ Το Απολλώνιο πρόβλημα

TΟ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Ο Απολλώνιος "Μέγας Γεωμέτρης" της εποχής του διατύπωσε σε ένα από τα έργα του τις Επαφές το εξής γεωμετρικό πρόβλημα:

"Δοθέντων τριών σημείων ή τριών ευθειών ή τριών κύκλων, να κατασκευαστεί ένας κύκλος που να εφάπτεται και στα τρία"

Η πρώτη περίπτωση είναι εύκολη. Ο κύκλος που περνάει από τρία σημεία έχει το κέντρο του στο σημείο που συντρέχουν οι μεσοκάθετοι του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία αυτά. Προφανώς δεν υπάρχει λύση αν τα σημεία είναι συνευθειακά.

Η δεύτερη περίπτωση είναι επίσης εύκολη και δέχεται την εξής διερεύνηση:

• Αν οι ευθείες τέμνονται ανά δύο (χωρίς να συντρέχουν) σχηματίζουν τρίγωνο, οπότε ο ζητούμενος κύκλος είναι ο εγγεγραμμένος στο τρίγωνο αυτό.
• Αν οι δύο ευθείες είναι παράλληλες και η τρίτη τις τέμνει, ο ζητούμενος κύκλος έχει το κέντρο του μέσα στην ταινία των παραλλήλων, εκεί που τέμνονται οι διχοτόμοι των σχηματιζόμενων γωνιών. (2 λύσεις).
• Αν οι τρεις ευθείες συντρέχουν ή αν είναι παράλληλες, το πρόβλημα δεν έχει λύση.

Η τρίτη περίπτωση μπορεί να αντιμετωπιστεί ευκολότερα με αναλυτική γεωμετρία. Αν είναι (x₁,y₁), (x₂,y₂) και (x₃,y₃) τα κέντρα των τριών κύκλων και R₁, R₂, R₃ οι ακτίνες τους και (x,y), R το κέντρο και η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου, θα πρέπει να ισχύουν:

(x-x₁)²+(y-y₁)²=(R+R₁)²  ή  (x-x₁)²+(y-y₁)²=(R-R₁)²  και

(x-x₂)²+(y-y₂)²=(R+R₂)²  ή  (x-x₂)²+(y-y₂)²=(R-R₂)²  και

(x-x₃)²+(y-y₃)²=(R+R₃)²  ή  (x-x₃)²+(y-y₃)²=(R-R₃)²

Οπότε προκύπτουν 8 συστήματα και κατά συνέπεια είναι δυνατόν να έχουμε το πολύ μέχρι 8 λύσεις, ανάλογα με τη διερεύνηση των συστημάτων και το κατά πόσον οι προκύπτουσες λύσεις έχουν φυσική υπόσταση. Π.χ. αν οι κύκλοι είναι ομόκεντροι το πρόβλημα δεν έχει λύση. Ενδιαφέρον παρουσιάζει η περίπτωση κάποια ή κάποιες από τις ακτίνες R₁ R₂ R₃ να είναι μηδέν. Πάντως το πρόβλημα επιδέχεται και γεωμετρική λύση με κανόνα και διαβήτη.

Πηγή: users.sch.gr/elscardan