▪ Τα μαθηματικά για τα μαθηματικά

Επιστημονική βιβλιοθήκη του Life

ΤΑ ΚΑΘΑΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ—τα μαθηματικά για τα μαθηματικά, χωρίς, δηλαδή, συγκεκριμένο πρακτικό σκοπό—γεννήθηκαν όταν ο άνθρωπος άρχισε να σκέπτεται τους αριθμούς σαν αριθμούς, πέρα από το να μετράη τα πρόβατα του, και όταν άρχισε να σκέπτεται τα σχήματα σαν σχήματα, πέρα από τη μορφή ενός βάζου. Αλλά τα πρώτα αυτά καθαρά μαθηματικά δεν ήσαν η λογική και συστηματική επιστήμη πού γνωρίζομε σήμερα. Οι ξεχασμένοι σοφοί της Μεσοποταμίας, πού ανεκάλυψαν το 60δικό σύστημα, σπάνια σταματούσαν για να γεφυρώσουν τις ανακαλύψεις τους με τις εσωτερικές τους σχέσεις η για να εμβαθύνουν στις σκέψεις πού τους οδήγησαν σ’ αυτές. Όπως οι επήλυδες σε μια χρυσοφόρο περιοχή, πήγαιναν από δω κι από κει, μάζευαν τα ψήγματα πού βρισκόντουσαν στην επιφάνεια, αδιαφορώντας να σκάψουν στο έδαφος για να βρουν τη φλέβα. Οι πινακίδες με τη σφηνοειδή γραφή και οι πάπυροι, όπου οι Μεσοποτάμιοι και άλλοι αρχαίοι λαοί είχαν καταγράψει τα αποτελέσματα των μαθηματικών τους γνώσεων, ήσαν τόσο άδειοι από συλλογισμούς όσο οι οδηγοί μαγειρικής και παραμελούσαν τις αποδείξεις; όπως τα συνταγολόγια των φαρμακοποιών. Πρόσθεσε αυτό, η αφαίρεσε εκείνο—έλεγαν—και θα βρής έτσι την αλήθεια. Ένα περίφημο αιγυπτιακό κείμενο, ο πάπυρος του Ρήντ, αυτοτιτλοφορείται «οδηγίες για την κατανόηση όλων των σκοτεινών πραγμάτων», αλλά περιλαμβάνει κανόνες αυθαίρετους, διατυπωμένους χωρίς εξηγήσεις.

Όταν οι Αρχαίοι Έλληνες ξεχύθηκαν από τη Βαλκανική Χερσόνησο προς τον Νότο για να εκμεταλλευθούν, να μελετήσουν και τελικά να καθυποτάξουν τους παλαιούς πολιτισμούς της Μέσης Ανατολής, έγιναν οι κληρονόμοι ολόκληρου του μαθηματικού θησαυρού πού είχαν συσσωρεύσει οι αιώνες. Γοητεύθηκαν, κατεπλάγησαν, αλλ’ έμειναν επίσης ανικανοποίητοι. Γιατί να είναι αληθινές οι «σκοτεινές οδηγίες»; Τι πραγματικά εσήμαιναν; Με το δροσερό τους πνεύμα, τον σκεπτικισμό και τη λογική, οι Έλληνες κατέστρωσαν τις δύο διανοητικές λειτουργίες πού είναι ζωτικές για κάθε μαθηματική διαδικασία : την αφαίρεση και την απόδειξη.

Αφαίρεση, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να διακρίνης μια η περισσότερες κοινές ιδιότητες σε διαφορετικά πράγματα και να σχηματίζης έτσι μια γενική Ιδέα γι’ αυτά. Κάνομε αφαίρεση όταν βλέπουμε τις εκκλησίες, τα σπίτια, τους ουρανοξύστες σαν κτίρια· όταν βλέπουμε τους τροχούς, τα ελαστικά, τα στεφάνια χούλα-χούπ σαν κύκλους· όταν βλέπουμε τις αγελάδες, τις γάτες, τα σκυλιά σαν ζώα.

Απόδειξη, στη συλλογιστική, είναι η τέχνη να φθάνης με επιχειρήματα από μια πρόταση στο συμπέρασμα, με τέτοιου τρόπο ώστε να μη μένη κανένα κενό στη διαδοχή των επιχειρημάτων. Οι Έλληνες χώριζαν τις προτάσεις σε δύο είδη: τις γενικές, τις όποιες αποκαλούσαν αξιώματα, και τις ειδικότερες, πού ανήκαν στη σφαίρα των μαθηματικών και τις ονόμαζαν θεωρήματα. Για να έχουν όμως προτάσεις σαν αφετηρία στον συλλογισμό ανέτρεχαν σε μιαν άλλη νοητική διαδικασία, την επαγωγή. Ενώ η αφαίρεση ανευρίσκει ένα κοινό παρονομαστή σε διαφορετικά πράγματα—π.χ. οι γάτες και οι σκύλοι είναι ζώα—η επαγωγή τον επισημαίνει μέσα στην ίδια κατηγορία των πραγμάτων. Έτσι, παρατηρώντας τα σκυλιά, κάνομε την επαγωγική σκέψη ότι όλα τα σκυλιά γαβγίζουν παρατηρώντας τα λαγωνικά, συμπεραίναμε ότι όλα τα λαγωνικά είναι σκύλοι. Χρησιμοποιώντας τις γνώσεις μας, από τις δύο προτάσεις, φθάνομε στο αναπόφευκτο συμπέρασμα, πού αποδεικνύει ότι όλα τα λαγωνικά γαβγίζουν. Το συμπέρασμα αυτό μπορεί να ακολουθήται από ένα επίσης αναπόφευκτο πόρισμα, πού ξεκινάει από τη διαπίστωση. Στο παράδειγμα μας: το λαγωνικό του γείτονα είναι σκύλος, άρα γαβγίζει.

Οι Έλληνες επινόησαν και μιαν άλλη τεχνική για να φθάνουν στην απόδειξη, τη μέθοδο πού είναι γενικώς γνωστή με τον λατινικό όρο reductio ad absurdum την εις άτοπον απαγωγήν. Με τη μέθοδο αυτή αποδεικνύαμε την ορθότητα μιας προτάσεως, ξεκινώντας επίτηδες από το αντίθετο, για ν’ αποδείζωμε ότι το αντίθετο αυτό δεν μπορεί να σταθή. Ας υποθέσουμε ότι ο κ. Σπυρόπουλος, ο γείτονας μας και κάτοχος του λαγωνικού, αντιμετωπίζει τα παράπονα της γειτονίας ότι ο σκύλος του γαυγίζει συνεχώς. Ξεκινάει από δύο προτάσεις: όλα τα σκυλιά είναι ζώα και όλα τα ζώα πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Από αυτές τις προτάσεις καταλήγει στο συμπέρασμα ότι όλοι οι σκύλοι, πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ύστερα καταστρώνει δύο ακόμη προτάσεις: μερικά σκυλιά γαυγίζουν ακατάπαυστα (το αν αντίθετο από ότι θέλει ν’ απόδειξη), και τα σκυλιά πούγαυγίζουν ακατάπαυστα δεν μπορούν να τρώγουν ή να κοιμούνται. Από το δεύτερο αυτό ζεύγος των προτάσεων βγάζει το συμπέρασμα ότι μερικά σκυλιά δεν τρώγουν και δεν κοιμούνται. Το συμπέρασμα είναι οπωσδήποτε άτοπο, αφού αντιφάσκει με το προηγούμενο συμπέρασμα ότι όλα τα σκυλιά πρέπει να τρώγουν και να κοιμούνται. Ο κ. Σπυρόπουλοςεπανεξετάζει τις τέσσερεις προτάσεις. Η μόνη αμφίβολη είναι ότι μερικά σκυλιά γαβγίζουν ακατάπαυστα. Αφού αυτή η πρόταση τον οδήγησε στο άτοπο συμπέρασμα, αυτή πρέπει να είναι λανθασμένη και το ακριβώς αντίθετο—ότι τα σκυλιά δεν γαβγίζουν ακατάπαυστα—πρέπει να είναι το σωστό. Έτσι, λοιπόν, απέδειξε—χάριν της ικανοποιήσεώς του και όχι βέβαια χάριν του ύπνου των γειτόνων του —αυτό πού ήθελε  απόδειξη.

Όπως φαίνεται σ’ αυτήν τη διανοητική περιπλάνηση του κ, Σπυροπούλοι οι βασικές αρχές των Ελλήνων δεν είναι τίποτε περισσότερο από τη συστήματα ποίηση των συλλογιστικών μεθόδων πού χρησιμοποιούμε όταν θέλουμε να υποστηρίξωμε ένα επιχείρημα στην καθημερινή μας ζωή. Βέβαια ο τρόπος του συλλογισμό του κ. Σπυροπούλουείναι πολύ ασθενέστερος και λιγότερο διεισδυτικός από τ μαθηματική συλλογιστική. Ο μαθηματικός όμως, αν και αντιμετωπίζει θέματα πολύ λιγότερο χειροπιαστά από τα σκυλιά πού γαυγίζουν, εξακολουθεί να μεταχειρίζεται ακόμη τους ίδιους βασικούς κανόνες της αφαιρέσεως και της επαγωγής. Κάνει αφαιρετικούς συλλογισμούς, π.χ., όταν αναγνωρίζη ότι οι αριθμοί 6, 52 και 200 μπορούν να διαιρεθούν με το 2. Χρησιμοποιεί την εις άτοπον απαγωγή όταν εζετάζη την πρότάση, π.χ. ότι ένα άγνωστο κλάσμα—ας το ονομάσωμε p/q—είναι το κλάσμα με τούς μικρότερους δυνατούς απλοποιημένους όρους. Αν απόδειξη αλγεβρικά ότι και τα δύο άγνωστα στοιχεία, ο αριθμητής και ο παρονομαστής, του κλάσματος εξακολουθούν να είναι άρτιοι αριθμοί, τότε η πρόταση αποδεικνύεται «άτοπη, δεδομένου ότι ένα κλάσμα με δύο αρτίους αριθμούς δεν έχει απλουστευθή τελείως (2/2 ή 6/16, επί παραδείγματι, μπορούν να σμικρυνθούν ακόμη, αν διαιρεθούν με το 2).

Μια πυραμίδα αποδείξεων 

ΕΝΑ ΠΕΡΙΦΗΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

Ευκολώτερα κατανοητό σ'  αυτή την διαγραμματική  μορφή, το πιο διάσημα από τα διδάγματα του  Πυθαγόρα   είναι  ότι το τετράγωνο πού σχηματίζεται  με  την υποτείνουσα (Γ) —δηλαδή με  την  μακρύτερη από τις   πλευρές  του — ενός ορθογωνίου τριγώνου  Ισούται  με  το άθροισμα   των τετραγώνων    των   δυο   άλλων, τωνβραχυτέρων,   πλευρών   (Α   και  Β).  Ανυποθέσωμε ότι  Α,  Β και  Γ είναι αντιστοίχως 3,   4   και   5  μέτρα,   μπορούμε  να   βρούμε το τετράγωνο της Γ—25 τετραγωνικά  μέτρα —αθροίζοντας  τα  τετράγωνα της Α και   Β (9+10  τετραγωνικά  μέτρα).

Πριν από τους Έλληνες, οι μαθηματικοί δεν περίμεναν ότι θα ενδιαφερόταν κανείς για τις διανοητικές προσπάθειες πού κατέβαλλαν ώσπου να φθάσουν σ’ ένα συμπέρασμα—στη συνταγή, ας πούμε, για την ποσότητα της πέτρας που χρειαζόταν για το κτίσιμο μιας πυραμίδας. Αν η συνταγή επαληθευόταν από την πράξη, αυτή ήταν η απόδειξη της ορθότητας της. Οι Έλληνες όμως δεν ήσαν ικανοποιημένοι από μόνο το γεγονός ότι ένας τύπος, μια συνταγή αποδεικνυόταν στην πράξη σωστή.

Οι Έλληνες ήθελαν να εξηγούν το γιατί και να το παρουσιάζουν με τη συντομώτερη, την αυστηρότερη λογική επιχειρηματολογία πού μπορούσε να επινοηθή. Η παράθεση των αποδείξεων έγινε γι’ αυτούς μια σωστή τέχνη, μια τέχνη πού τιμούσε τη μεγαλύτερη δυνατή πυκνότητα σε κάθε βαθμίδα του συλλογισμού, χωρίς, ταυτόχρονα, ν’ αφήνη τίποτε ασαφές και κενό. Τα Ελληνικά Μαθηματικά συγκέντρωσαν ένα πλήθος αποδεδειγμένων θεωρημάτων, πού το καθένα τους μπορούσε να χρησιμοποιηθή, χωρίς να χρειάζεται πάλι επαλήθευση, για να διατυπωθή ένα νέο, πιο προχωρημένο θεώρημα. Επιπλέον όλα αυτά τα θεωρήματα μπορούσαν να ταξινομηθούν, το ένα σφιχτά με τα’ άλλο, σ’ ένα σύστημα, σαν μία ανεστραμμένη πυραμίδα γνώσεων πού ολοένα μεγαλώνει. Το σημείο πού βρισκόταν στη βάση της πυραμίδας μπορούσε να θεμελιωθή στερεά, στην καθημερινή εμπειρία με τη βοήθεια μερικών αυταπόδεικτων αξιωμάτων, όπως π.χ. ότι η συντομώτερη οδός μεταξύ δύο σημείων είναι η ευθεία η ότι δύο ευθείες τέμνονται σ’ ένα μόνο σημείο.

Καθώς αναπτυσσόταν η μαθηματική επιστήμη, μεγάλωνε και η αποδεικτική αυστηρότης — το μέτρο δηλαδή της παραδοχής μιας τυπικής αποδείξεως. Με αλλά λόγια οι μαθηματικοί παραδέχονταν με διαρκώς μεγαλύτερη δυσκολία ως, μαθηματικές αλήθειες τα θεωρήματα της επιστήμης τους. Έτσι οι σύγχρονοι μαθηματικοί ανεκάλυψαν ότι ωρισμένες αποδείξεις στις όποιες κατέφυγαν οι Έλληνες περιείχαν κρυφές, ανεξακρίβωτες υποθέσεις. Περιώρισαν επίσης την ίδια την μέθοδο χρήσεως των αξιωμάτων και αναθεώρησαν ωρισμένα σημεία. Επινόησαν ακόμη άλλες σειρές αξιωμάτων για να θεμελιώσουν πάνω σ’ αυτές τους νεώτερους κλάδους των μαθηματικών. Αλλά το βασικό σύστημα των Ελλήνων, η συλλογιστική της αφαιρέσεως και της αποδείξεως, παραμένει άθικτο. Κάθε κλάδος των συγχρόνων μαθηματικών (οργανώθηκε όσο ήταν δυνατό πάνω σ’ αυτό το ελληνικό λογικό σύστημα.

Το φεγγάρι και το κεφάλι της  καρφίτσας.

Το ελατήριο πού έδωσε την ώθηση για να πραγματοποιηθή εκείνη την εποχή η Ελληνική Πνευματική Επανάσταση ήταν η γεωμετρία. Με την έμφυτη καλλιτεχνική κλίση τους οι Έλληνες (οδηγήθηκαν από ένστικτο στην καθαρότητα και την οπτική γοητεία πού συνδυάζει η γεωμετρία— τα μαθηματικά δηλαδή των σημείων, των γραμμών, των επιφανειών και των όγκων. Και οι Βαβυλώνιοι και οι Αιγύπτιοι είχαν μεταχειρισθή μία χονδροκομμένη, πρόχειρη γεωμετρία για να μετρούν τα χωράφια και τα κτίσματα τους, άλλα μόνο γι’ αυτές τις πρακτικές εφαρμογές των υπολογισμών— για να βρίσκουν π.χ. πόσα τούβλα, η πόσοι γρανιτόλιθοι χρειάζονταν στο χτίσιμο του δυτικού τοίχου του νέου ανακτόρου. Οι Έλληνες είχαν μια πολύ πιο θεωρητική, πιο «αφηρημένη» αντίληψη. Πίστευαν ότι ένα ωρισμένο είδος σχήματος έχει αναλλοίωτες, εσωτερικές ιδιότητες, ανεξάρτητες από το μέγεθος του. Έτσι, ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°—ένα τρίγωνο πού, μεταξύ άλλων, έχει δύο ίσες πλευρές—μπορεί να εκταθή ίσαμε το φεγγάρι η να μικρύνη ως το κεφάλι μιας καρφίτσας, αλλά θαπαραμείνη και στις δύο περιπτώσεις ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45°·

Ο πρώτος Έλλην πού συνέλαβε αυτήν τη θεμελιώδη δυνατότητα της αφαιρέσεως στη γεωμετρία — και συνέβαλε έτσι στη διαμόρφωση του ελληνικού οράματος, κατά το όποιο οι γνώσεις θα αυξάνουν σαν στέρεες, ανεστραμμένες πυραμίδες αποδείξεων, στηριγμένες σε λίγα βασικά αξιώματα— ήταν πιθανότατα ο Θαλής ο Μιλήσιος, ένας δραστήριος λαδέμπορος, πού ασκούσε τις επιχειρήσεις του κατά μήκος

των ακτών της Μ. Ασίας μεταξύ του 600 και 550 π.Χ. Κατά τη διάρκεια των ταξιδιών του ήλθε σε επαφή με ανθρώπους πού ήξεραν τα παλιά μαθηματικά και την αστρονομία και όταν αποσύρθηκε από το εμπόριο ασχολήθηκε με την επιστήμη για «χόμπυ». Τα πέντε θεωρήματα πού αποδίδονται σ’ αυτόν— και πού παρουσιάζονται παρακάτω— έχουν μιαν εντυπωσιακή απλότητα, πού αποκαλύπτει την ενσυνείδητη προσπάθεια του Θαλή να θεμελίωση τη γεωμετρία σε βασικούς, αμετακίνητους όρους.

Η φιλοδοξία, του Θαλή θα παρέμενε ίσως ανεκπλήρωτη αν δεν υπήρχε ένας άλλος  Έλλην, ο όποιος συνεργάσθηκε, όπως πιστεύεται, μαζί του. Αυτός ήταν ο Πυθαγόρας, ένας άνδρας με δυνατή, μαγνητική προσωπικότητα. Κατά την παράδοση ο Πυθαγόρας ακολούθησε τη συμβουλή του Θαλή και ταξίδεψε χρόνια ολόκληρα για να ευρύνη το πεδίο των μαθηματικών γνώσεων του. Μεταξύ άλλων πηγών στις όποιες κατέφυγε ο Πυθαγόρας ήλθε σε επαφή και με τους ιερείς του Ζωροάστρη— τους σοφούς εκείνους από τους οποίους κατάγονται οι Μάγοι της χριστουγεννιάτικης ιστορίας— πού είχαν διαφυλάξει, κάτω από την Περσική κυριαρχία, τη μαθηματική κληρονομιά των Μεσοποταμιών. Αφού έμαθε ότι είχε να μάθη ο Πυθαγόρας ίδρυσε, γύρω στα 540 π.Χ., μια σχολή, μισοθρησκευτική, μισομαθηματική, στον Κρότωνα, μιαν ανθούσα ελληνική αποικία στο νότιο άκρο της Ιταλικής Χερσονήσου. Έκτος από τα μαθηματικά εδίδασκε στους μαθητές - οπαδούς του τη λατρεία των αριθμών, την επανενσάρκωση και τη μετεμψύχωση από άνθρωπο σε άνθρωπο και από άνθρωπο σε ζώο· τους ώριζε να μη τρώνε κουκιά, να μένουν πάντα ανώνυμοι και να υπογράφουν με το όνομα της Πυθαγόρειας Αδελφότητας κάθε γραπτό και κάθε ανακάλυψη τους.

Από τη διδασκαλία του Πυθαγόρα το ευρύτερα γνωστό θεώρημα είναι ασφαλώς ότι το τετράγωνο της μεγαλύτερης πλευράς—της υποτεινούσης—ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων, βραχυτέρων πλευρών. Οι Βαβυλώνιοι εγνώριζαν το θεώρημα αυτό 1.000 χρόνια νωρίτερα, τη δόξα όμως την πήρε η Πυθαγόρεια Σχολή πού πρώτη το απέδειξε. Ακόμη και σήμερα παραμένει ανυπολόγιστη η αξία του για την επιστήμη. Αλλά και η πρακτική πλευρά, πού ενδιαφέρει τους περισσότερους, είναι εξ ίσου σημαντική, αφού με βάση το θεώρημα αυτό οι ξυλουργοί και οι οικοδόμοι μπορούν να ελέγχουν αν οι κατασκευές τους είναι τέλεια ορθογώνιες. 

Κληροδότημα στη Τζαζ.

Ο Πυθαγόρας έκαμε μια δεύτερη, πολύ χρήσιμη ανακάλυψη πού ενδιαφέρει κάθε μουσική εκτέλεση, είτε ενός πιανίστα της τζαζ είτε ενός κουαρτέτου εγχόρδων: ότι κάτω από τη μουσική κλίμακα βρίσκεται μια μαθηματική υποδομή. Ο Πυθαγόρας βρήκε ότι υπάρχει μια θαυμαστή σχέση μεταξύ της μουσικής αρμονίας και των ακεραίων αριθμών πού μετρούμε με το 1,2,3,4,5 κ.λπ. Αν κρούσωμε μια χορδή θα παραχθή μια νότα: αν κρούσωμε την ίδια αλλά διπλασίου μήκους χορδή θα παραχθή η ίδια νότα αλλά σε μιαν οκτάβα χαμηλότερα. Με την ίδια χορδή, και τον ήχο πού παράγει μπορούμε, αυξάνοντας το μήκος της κατά προσδιορισμένες σχέσεις, να έχωμε όλους τους μουσικούς φθόγγους της κλίμακας.Τα μήκη αυτών των αυξήσεων είναι δυνατόν να εμφανισθούν μ’ ένα κλάσμα. Αν π.χ. σε μια χορδή πού δίνει το ντο αυξήσουμε το μήκος της κατά 1/15, πράγμα πού συμβαίνει εάν πάρουμε και μιαν άλλη χορδή μήκους

16/15 της προηγουμένης, έχουμε τη νότα σί. Οι σχέσεις 6/5, 4/3, 3/2, 8/5, 16/9 δίδουν αντιστοίχως λα, σολ, φα, μι, ρε. Παίρνοντας τη σχέση χορδών 2 προς 1 ξαναβρίσκουμε το ντο, άλλα σε μια οκτάβα πιο κάτω από το προηγούμενο. Ο Πυθαγόρας ανεκάλυψε τις αριθμητικές σχέσεις μεταξύ του ντο, φα, σολ και του ντο πού βρίσκεται μια οκτάβα πιο κάτω, όπως και μεταξύ των ισοδυνάμων τους σε οποιαδήποτε κλίμακα. Έφθασε επίσης στο συμπέρασμα ότι τόσο στη φύση, όσο και ανάμεσα σε όλες τις μορφές του κάλλους και σε όλες τις αρμονίες υπάρχουν σχέσεις πού μπορούν να εκφρασθούν με ακεραίους αριθμούς. Σκέφθηκε ακόμη ότι οι μετακινήσεις των αστέρων στον ουρανό παράγουν μια ουράνια μουσική — τη λεγόμενη -«μουσική των σφαιρών»— με αρμονίες πού μπορούσαν να διατυπωθούν κι αυτές με αριθμούς.

Η ασύγκριτη δύναμη των ακεραίων αριθμών, πού διέπει όλα τα πράγματα στη φύση, μάγεψε τόσο πολύ τους πυθαγορείους ώστε κατέταξαν τους αριθμούς σε κατηγορίες, όπως σε «τέλειους» και σε «φίλιους». Για τους πυθαγορείους, οι περιττοί αρι­θμοί ήσαν αρσενικοί, οι άρτιοι θηλυκοί. Μόνο το 1, γεννήτωρ όλων των άλλων αριθμών, δεν περιλαμβάνεται σ’ αυτή την κατάταξη. (Το 5 συμβόλιζε στα μάτια τους τον γάμο. Ήταν η ένωση του πρώτου θηλυκού αριθμού, του 2, και του πρώτου αρσενικού, του 3). Τότε, πάνω στην έκσταση αυτής της γοητευτικής φαντασιώσεως, έγινε μια ζοφερή ανακάλυψη, τόσο έντονα αντίπυθαγόρεια, ώστε η Αδελφότης προσπάθησε να την κατάπνιξη.

Η κακορίζικη τετραγωνική ρίζα.

Το ενοχλητικό εύρημα ήταν ένα νέο είδος αριθμών—πού σήμερα τους ονομάζομε «ασύμμετρους». Το χαρακτηριστικό του ασύμμετρου αριθμού είναι ότι παραμένει πεισματικά ανολοκλήρωτος, ό,τι και αν συμβή. Αυτή η εξοργιστική Ιδιότητα παρουσιάζεται συχνά σ’ αυτό πού αποκαλούμε «τετραγωνική ρίζα»— την ποσότητα πού όταν πολλαπλασιασθή με τον εαυτό της μας δίνει τον δεδομένο αριθμό. Η τετραγωνική ρίζα του 4 (πού γράφεται συμβολικά ) είναι το καθαρό, ήρεμο 2 ρίζα 9 είναι το 3. Μια ασύμμετρη όμως τετραγωνική ρίζα μας δίνει ένα δεκαδικό κλάσμα με ατέλειωτη σειρά, χωρίς περιοδική τάξη, ψηφίων μετά το κόμμα. Παράδειγμα : η τετραγωνική ρίζα του 2 ( ) είναι 1,41421... κ.λπ. επ’ άπειρον ρίζα είναι 1,73205... κ.λπ. έπ’ άπειρον. Το πιο εκνευριστικό για μια νοικοκυρεμένη σκέψη είναι ότι οι ασύμμετρες τετραγωνικές ρίζες ξεπηδούν ξαφνικά, στην τύχη και με ανώμαλη συχνότητα.

Η περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου μας δίνει ένα παραστατικό παράδειγμα. Αν μετρηθούν οι βραχύτερες, οι κάθετες πλευρές του, με τους αριθμούς 3 η μία και 4 η άλλη, τότε η μακρύτερη πλευρά, η υποτείνουσα, είναι ίση με το 5. Τέτοιοι όμως απλοί συνδυασμοί, όπως π.χ. επίσης 5-12- 13 ή 7-24- 25, είναι πολύ σπάνιοι. Μεταξύ αυτών των τελείων ορθογωνίων παρεμβάλλεται ένας μεγάλος αριθμός «ατελών» ορθογωνίων τριγώνων, με πλευρές π.χ. 1 - 1 -  ή 1 - 2 -  ή 2 - -3. Ας υποθέσωμε ότι έχομε να μετρήσωμε ένα χωράφι σχήματος Ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου, δηλαδή με δύο ίσες πλευρές και μία μεγαλύτερη. Ας υποθέσωμε επίσης ότι το μήκος των δύο ίσων πλευρών εκφράζεται με ακριβείς αριθμούς. Τότε η τρίτη πλευρά, με οποιαδήποτε μονάδα και αν μετρηθή, δεν θα βγαίνη ακριβώς. Οποιαδήποτε και αν είναι η μονάδα (εκατοστό, πήχυς, οργυιά) το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Και αντίστροφα: όσες φορές και αν υποδιαιρέσωμε το μήκος της μεγάλης πλευράς ποτέ δεν θα φθάσωμε σε μιαν υποδιαίρεση πού να ισούται με κάποια υποδιαίρεση του μήκους των μικρών πλευρών.   Μεταξύ της υποτεινούσης και μιας   καθέτου   πλευράς  δεν υπάρχει καμιά κοινή μονάδα πού να τις  μετρά.

Οι Πυθαγόρειοι αντελήφθησαν ότι είναι αδύνατο να εκφράσουν με ολόκληρους αριθμούς αυτή τη σχέση στα περισσότερα ορθογώνια τρίγωνα, ακόμη καν αν επιστράτευαν όλους τους ακέραιους αριθμούς και τα κλάσματα τους— από το 1 έως το ένα δισεκατομμύριο η από το 1/1 ως το ένα δισεκατομμυριοστό. Η συντριπτική αυτή ανακάλυψη συνεκλόνισεολόκληρη την πορεία της ελληνικής μαθηματικής σκέψεως. Διέλυσε πραγματικά κάθε ελπίδα ότι η μέτρηση μπορούσε να χρησιμεύση σαν γέφυρα ανάμεσα στη γεωμετρία και την αριθμητική των ακεραίων αριθμών. Οι Έλληνες άρχισαν ν’ αυτοπεριορίζωνται στη γεωμετρία των σχημάτων, πού δεν την απασχολούσαν οι μετρήσεις άλλα μόνο τα σχήματα. Έτσι μπορούσαν, αν όχι να μετρήσουν, πάντως να σχεδιάσουν μερικούς ασύμμετρους αριθμούς, όπως τη ρίζα2 η ρίζα3, σαν μια ορισμένη υποτείνουσα σ’ ένα ορισμένο ορθογώνιο τρίγωνο. Σαν τα άτακτα παιδιά, οι αριθμοί αυτοί μπορούσαν τουλάχιστον να κλεισθούν μέσα σε γνωστά ευθύγραμμα σχήματα, με καθορισμένα όρια —σε τρίγωνα, τετράγωνα και πυραμίδες.

Οι ασύμμετροι αριθμοί όμως, καθώς και η έννοια του απείρου, δεν ήταν δυνατόν να εξοστρακισθούν και από τη στοιχειωδέστερη έστω γεωμετρία των σχημάτων. Αναπήδησαν πάλι, μετά από τα τρίγωνα, στο πρόβλημα του κύκλου. Η σχέση η ο λόγος μεταξύ της περιφερείας ενός κύκλου και της διαμέτρου του είναι πράγματι ένας ασύμμετρος αριθμός, 3,14159..., τον όποιο αποκαλούμε και γράφομε π (πιθανότατα από το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξεως περιφέρεια). Οποιαδήποτε και αν είναι η προέλευση του π, η ασύμμετρηποσότης πού εκφράζει υπολογίσθηκε με περισσότερα από 100.000 δεκαδικά ψηφία και ξέρουμε ότι δεν την μετρήσαμε ολόκληρη· θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε τον υπολογισμό αυτόν έπ’ άπειρον. Οι Έλληνες δεν είχαν αναγνωρίσει την πλήρη έκταση της ασυμμετρίας του π κι έτσι έχασαν πολύ χρόνο και κατέβαλαν μεγάλες προσπάθειες για να λύσουν το τεράστιο πρόβλημα πού ήταν άλυτο εξ αιτίας αυτής ακριβώς της ασυμμετρίας—δηλαδή να κατασκευάσουν ένα τετράγωνο, το εμβαδόν του οποίου να ισούται με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου, με άλλα λόγια να πετύχουν τον «τετραγωνισμό του κύκλου».

Το άπειρο και  η  μηλόπιτα.

Η καλύτερη μέθοδος για να υπολογίσουν, κατά προσέγγιση, την επιφάνεια ενός κύκλου ήταν να τον χωρίσουν σ’ ένα άπειρο αριθμό απείρως στενών ισοσκελών τριγώνων, τοποθετημένων όπως τα κομμάτια μιας μηλόπιτας. Τα τρίγωνα αυτά θα είχαν ύψος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Το άθροισμα των απείρως μικρών ευθειών πού χρησιμεύουν ως βάσεις στα τρίγωνα αποτελεί την περιφέρεια του κύκλου. Αν η συνολική επιφάνεια των τριγώνων αυτών είναι ίση με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνος επί το άθροισμα των απειροελάχιστων αυτών βάσεων, το εμβαδόν του κύκλου θα ισούται με το ήμισυ του γινομένου της ακτίνας επί την περιφέρειαν. Ο συλλογισμός δεν ήταν εσφαλμένος και επαληθευόταν από την πράξη. Αλλά η προσπάθεια της αποδείξεως του, με την αυστηρή λογική διαδοχή, σκαλί-σκαλί, ήταν μια τολμηρή πνευματική περιπλάνηση, όχι λιγότερο ριψοκίνδυνη από τα ταξίδια του Οδυσσέα. Μέχρι ποιου σημείου μπορούμε να θεωρούμε τρίγωνα τα απειροελάχιστα αυτά στοιχεία; Καθώς το τρίγωνο γίνεται απείρως στενό, πότε ακριβώς παύει να έχη το σχήμα  και αρχίζει να αποκτά το σχήμα  σαν τη φέτα της μηλόπιτας ; Ασφαλώς αυτό δεν συμβαίνει παρά μόνο όταν γίνη απείρως στενό, τότε όμως δεν είναι πια «κάτι» αλλά «τίποτα». Πώς λοιπόν μπορεί ένας άπειρος αριθμός από τίποτα να αθροίζεται για να σχηματίζη κάτι όπως τον κύκλο;

ΤΟ ΜΕΤΡΗΜΑ ΤΟΥ ΚΥΚΛΟΥ

Στo διάγραμμα αυτό μικραίνουν διαρκώς από αριστερά  προς  τα δεξιά οι χρωματισμένες   επιφάνειες,    πού σχηματίζονται ανάμεσα στην περιφέρεια του κύκλου και στις  βάσεις διαφόρων ισοσκελών  τριγώνων, πού   έχουν όλο; τους ως κορυφή το κέντρο του κύκλου.  Έτσι φαίνεται καθαρά ότι όσο οξύνεται  η γωνία στην κορυφή,  τόσο ελαττώνεται η χρωματισμένη περιοχή, κάτω από τη βάση. Επί πλέον όσο μικραίνουν τα τρίγωνα τόσο το ύψος  τους  (στικτή γραμμή)  τείνει να ταυτισθή  με  την ακτίνα του  κύκλου, ενώ οι   βάσεις τους   σχεδόν συμπίπτουν  με την περιφέρεια.  Βλέποντας  λοιπόν ότι το ύψος γινόταν ακτίνα και ότι  το άθροισμα  των  βάσεων εξισωνόταν  με  την περιφέρεια, οι  Έλληνες εφήρμοσαν  τον τύπο για το μέτρημα  του εμβαδού  του τριγώνου (το 1/2  της βάσεως Χ το ύψος) και  στο εμβαδόν  του κύκλου (το 1/2 της  περιφερείας Χ  την ακτίνα).

Αυτές τις ενοχλητικές αντιρρήσεις διετύπωσαν—όχι χωρίς σαρκασμό—εναντίον της λογικής του ακατάπαυστου τεμαχισμού του κύκλου οι οπαδοί της Ελεατικής σχολής, μιας σχολής πού ιδρύθηκε στην Ελέα, πόλη γειτονική στον Κρότωνα καώ τους Πυθαγορείους. Οι Ελεάτες εξ αρχής φάνηκαν ν’ αντιμάχωνται τους Πυθαγορείους. Και τα μαθηματικά δεν ήσαν πια για τους Έλληνες μια διασκεδαστική ενασχόληση· τα προβλήματα της επιστήμης γινόντουσαν αγώνισμα σε ανοικτό χώρο. Αυτό πού τώρα, αναδρομικά μας φαίνεται σαν μια ήρεμη και ανεμπόδιστη πορεία προς τη διαρκώς αυξανόμενη γνώση, στην πραγματικότητα ήταν ένας πνευματικός πόλεμος με όλο το πάθος και την οξύτητα των αντεγκλήσεων. Τα όπλα στις μάχες αυτές ήσαν τα περίπλοκα επιχειρήματα· το έπαθλο, ο θρίαμβος της αποδείξεως.

Οι Ελεάτες είχαν βαθύτατα επιστημονικά ενδιαφέροντα— όχι μόνο για τα τρίγωνα και τους κύκλους, αλλά για το σύμπαν. Ο κυριώτεροςεκπρόσωπος τους ήταν ο Ζήνων, διδάσκαλος του περίπλοκου διανοήματος του παραδόξου — δηλαδή της προτάσεως εκείνης πού αν και λογικά είναι γερά θεμελιωμένη αντιφάσκει με την κοινή αντίληψη. Ο Ζήνων είχε γοητευθή με την ιδέα του απείρου. Διαισθάνθηκε σωστά ότι η επιστήμη δεν θα μπορούσε να δαμάση την πραγματικότητα αν δεν συνειδητοποιούσε τους τρόπους με τους οποίους το άπειρο φαινόταν να εμφανίζεται παντού στη φύση. Έθεσε μιαν απλή ερώτηση πού αφορούσε την κίνηση και την ανήγαγε σε διάσημη παραδοξολογία: Πώς μπορεί ένα κινούμενο σημείο ναπερνάη από έναν άπειρο αριθμό θέσεων σ’ ένα καθορισμένο χρονικό διάστημα ; Αν ο «ωκύπους Αχιλλεύς» συναγωνίζεται στο τρέξιμο μια χελώνα και η χελώνα ξεκινήση ένα πόδι πιο μπροστά, πώς θα μπόρεση—σύμφωνα με την αυστηρή ελληνική λογική — να την φθάση ο Αχιλλεύς ; Όταν οΑχιλλεύς θα έχη προχωρήσει ένα πόδι και η χελώνα θα έχη προχωρήσει κατά τι, ας πούμε ένα δέκατο του ποδιού. Και όταν ο Αχιλλεύς θα έχη καλύψει το δέκατο αυτό, πάλι θα έχη προχωρήσει κατά τι η χελώνα.

Ο καθένας βέβαια ξεύρει εμπειρικά ότι ο Αχιλλεύς θα φθάση τη χελώνα, αλλά πώς να το απόδειξη με λογικούς συλλογισμούς πού να μηχρειάζωνται άπειρες σελίδες για να διατυπωθούν: Οι σύγχρονοι μαθηματικοί έχουν βρή τρόπους για να παρακάμπτουν το πρόβλημα· το ίδιο έκαμαν και οι Έλληνες. Ένας από τους πρώτους διδασκάλους της γεωμετρίας, πιθανότατα ο Εύδοξος, αντικατέστησε την αμφισβητούμενη απόδειξη για το εμβαδόν του κύκλου με δύο βοηθητικές σειρές σκέψεως. Σύμφωνα μ’ αυτές, αν δεχθούμε ότι το εμβαδόν του κύκλου είναι μια ποσότητα μεγαλύτερη η μικρότερη από το ήμισυ του γινομένου του μήκους της περιφερείας επί την ακτίνα, τότε ανακύπτουν αντιφάσεις— και οι αντιφάσεις αυτές καθιστούν τις άλλες ενδεχόμενες λύσεις άτοπες (μία ακόμη εφαρμογή της εις άτοπον απαγωγής).

Την ίδια περίπου εποχή πού ο Εύδοξος αντιμαχόταν στο σημείο αυτό τους Ελεάτες και το άπειρο, ο αρχαίος ελληνικός κόσμος χανόταν μέσα στις απέραντες κατακτήσεις του Μεγάλου Αλεξάνδρου. Όταν έπαψε η κλαγγή των όπλων, μία πόλις, η Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου εξελίχθηκε σε νέα πρωτεύουσα του ελληνικού πολιτισμού. Εκεί, γύρω στα 300 π.Χ., ο περιφημότερος απ’ όλους τους διδασκάλους της γεωμετρίας, ο Ευκλείδης, βάλθηκε να συγκέντρωση όλα τα θεωρήματα των προγενεστέρων του και να τα συμπεριλάβη σε μια μοναδική, αυτοτελή ενότητα.

Ο Ευκλείδης δεν ήταν ακριβώς ένας μεγάλος καινοτόμος· ήταν όμως ένας υπέροχος οργανωτής, πού συστηματοποίησε τα συμπεράσματα στα όποια έφθασαν ο Θαλής, ο Εύδοξος και άλλες φωτεινές διάνοιες της χρυσής εποχής της ελληνικής γεωμετρίας— άνδρες πού επέζησαν ως τις μέρες μας, περισσότερο σαν ονόματα και ολιγότερο με το έργο τους, όπως ο Δημόκριτος, ο Ιπποκράτης της Χίου, ο Αρχύτας. Ο Ευκλείδης είχε τη θαυμαστή ικανότητα ν’ ανασύνταξη τις αποδείξεις των θεωρημάτων σε σύντομους αυστηρούς όρους. Έτσι απλοποιημένες οι αποδείξεις περιελήφθησαν στο αριστούργημα του, τα Στοιχεία, ένα από τα ανεπανάληπτα εκείνα έργα πού, όπως η Βίβλος, έχουν αφομοιώσει σ’ ένα εμπνευσμένο σύνολο τις καλύτερες προσπάθειες ολοκλήρων γενεών δημιουργικής σκέψεως. Είναι ένα κείμενο με τόση σαφήνεια και κομψότητα ύφους ώστε πολλοί εκπαιδευτικοί το θεωρούν σαν την συνεκτικώτερη συλλογή αυστηρά λογικών διανοημάτων πού επραγματοποίησε ποτέ ο άνθρωπος. Στην αρχαιότητα κυκλοφορούσε ευρύτατα με τη μορφή χειρογράφου. Αφότου ανεκαλύφθη η τυπογραφία δημοσιεύθηκε σε χιλιάδες εκδόσεις. Μέχρι προ 100 ετών ήταν στις περισσότερες χώρες του κόσμου το κλασικό σύγγραμμα για τη διδασκαλία της γεωμετρίας και παραμένει, ακόμη και σήμερα, ξαναγραμμένο με ποικίλους τρόπους.

Τα Στοιχεία περιλαμβάνουν 13 βιβλία η κεφάλαια, πού περιγράφουν και αποδεικνύουν ένα μεγάλο μέρος απ’ όσα γνωρίζει, ακόμη και τώρα, το ανθρώπινο γένος για τις γραμμές, τα σημεία, τους κύκλους και τα στοιχειώδη σχήματα των στερεών σωμάτων. Όλες αυτές τις πληροφορίες τις άντλησε ο Ευκλείδης, με την πιο κοφτερή λογική, από δέκα ακριβώς απλές προτάσεις — πέντε αξιώματα και πέντε θεωρήματα— (πού αναφέρονται στο περιθώριο της σελίδος αυτής). Με τις προτάσεις αυτές ο Ευκλείδης οικοδόμησε όχι μόνο τη γεωμετρία πού διδάσκεται κανονικά σήμερα στα σχολεία αλλά και πολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών. Τα κεφάλαια του για τα μήκη των γραμμών και για το εμβαδόν μας παρέχουν γεωμετρικές μεθόδους για τη λύση πολλών προβλημάτων πού σήμερα θεωρούνται αλγεβρικά θέματα. Ο τρόπος με τον όποιο αντιμετώπισε την έννοια του απείρου, την πληγή πού άνοιξε ο Ζήνων, και η τεχνική του για την άθροιση των εμβαδών πού περικλείονται σε κυκλικά τόξα περιέχουν τις ιδέες πού ερευνώνται σήμερα στον απειροστικό λογισμό.

ΥΠΗΡΕΤΩΝΤΑΣ ΤΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ Ο Ζήνων  προκάλεσε τρομερή σύγχυση στους στοχαστές - συναδέλφους  του, επισημαίνοντας ότι ο ηρωικός  Αχιλλεύς, όσο γρήγορα και  αν έτρεχε, δεν   θα μπορούσε να προσπέραση  μια χελώνα,  πού ξεκίνησε  λίγο πιο μπροστά από αυτόν, και   τούτο γιατί  όταν θα έφθανε στο σημείο εκκινήσεως  της  χελώνας, στο Α, εκείνη θα είχε προχωρήσει   στο   σημείο Β. Κι όταν θα έφθανε  αυτός   στο   Β   η  χελώνα δα ήταν στο Γ.  Έτσι,  Ισχυριζόταν ο Ζήνων, η   χελώνα θα  ήταν διαρκώς  πιο μπροστά,  έστω και  ανεπαίσθητα.

Οι παρατηρήσεις του για τους πρώτους αριθμούς— τους αριθμούς πού δεν μπορούν να διαιρεθούν ακριβώς παρά μόνο με τον εαυτό τους η με το 1—είναι σήμερα κλασικές για τη «θεωρία των αριθμών».

Μετά τον Ευκλείδη οι μαθηματικοί δεν μπορούσαν παρά να προχωρήσουν πέρα από την περιοχή πού συνήθως τη σκεφτόμαστε σαν ελληνική γεωμετρία, προς τα αραιότερα στρώματα της ατμοσφαίρας πού ο πολύς κόσμος αποκαλεί ανώτερα μαθηματικά. Εμπνευσμένοι από τα Στοιχεία οι δύο περισσότερο προικισμένοι μαθηματικοί του επομένου αιώνος πραγματοποίησαν τόσες ανακαλύψεις και διετύπωσαν τόσους πολύτιμους τύπους όσους είχαν δημιουργήσει όλοι μαζί οι Έλληνες πριν από τον Ευκλείδη. Ο ένας από αυτούς ήταν ο Απολλώνιος, του οποίου οι ανακαλύψεις γύρω από τις λεγόμενες κωνικές τομές συνέβαλαν αποφασιστικά στην Αστρονομία, στη Βλητική και, σε τελική προέκταση, στη σύγχρονη μελέτη των πυραυλικών τροχιών. Ο άλλος υπήρξε ο Αρχιμήδης, πού η μαθηματική του ιδιοφυΐα συναγωνιζόταν το τάλαντο του ως μηχανικού, με το όποιο καθιερώθηκε σαν ο πατέρας της Πρακτικής Μηχανικής.

Η ευλογία και η κατάρα του Πλάτωνος.

Και ο Απολλώνιος και ο Αρχιμήδης διεξήγαν τις ανώτερες μαθηματικές έρευνες τους όσο μπορούσαν με την αυστηρή πειθαρχία πού είχε επιβάλει στη γεωμετρία ο διάσημος Αθηναίος φιλόσοφος Πλάτων. Ο Πλάτων αγαπούσε τη γεωμετρία, γιατί σκεφτόταν με τους όρους του καθαρά ιδεατού, του ολοκληρωτικά αφηρημένου. Του άρεσε η δυνατότητα αναγωγής από τον τροχό ενός παλιού αμαξιού στην έννοια του κύκλου, μιαν έννοια αναλλοίωτη στον χώρο και στον χρόνο. Έχοντας τεράστιο κύρος ο Πλάτων μετέδωσε τον ενθουσιασμό του στους συμπολίτες του κι έτσι ανέβασε τους ασχολούμενους με την γεωμετρία στην εκτίμηση του κοινού. Αλλ’ ενώ τους έκανε αυτό το δώρο, τους φόρτωνε ταυτοχρόνως με βαρύτατους περιορισμούς. Σαν φιλόσοφος συνοφρυωνόταν όταν έβλεπε μηχανικές επινοήσεις και πρακτικές εφαρμογές των μαθηματικών και επέμενε ότι οι γεωμετρικές αποδείξεις πρέπει να παρουσιάζωνται χωρίς αλλά βοηθήματα παρεκτός τον χάρακα και τον διαβήτη. Η αξίωση αυτή ήταν πιο παλιά από τον Πλάτωνα, αλλ’ αυτός την καθιέρωσε όχι μόνο για τα στοιχειώδη αλλά και για τα πιο πολυσύνθετα γεωμετρικά προβλήματα.

ΟΙ ΤΟΜΕΣ ΤΟΥ ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ

Ο  Απολλώνιος ανεκάλυψε ότι  η  τομή ενός κώνου   από   ένα   επίπεδο  κατά   διάφορους τρόπους σχηματίζει διάφορα καμπυλόγραμμα σχήματα. Μια  τομή παράλληλη προς τη   βάση του  κώνου σχηματίζει κύκλο·  η  λοξή τομή,  έλλειψη· αν γίνη   παράλληλα  προς   μία   γενέτειρα γραμμή   του  κώνου,   σχηματίζει   παραβολή — όπως είναι η τροχιά ενός  βλήματος.  "Αν το επίπεδο περνά από την   κορυφή   του κώνου προσδιορίζει   δύο τομές  πού έχουν σχήμα  ισοσκελούς τριγώνου.  Αν κόβη τον κώνο και  την αντίστροφη εικόνα  του    (όπως θα  φαινόταν σ'  ένα καθρέφτη) προκύπτει μια υπερβολή, σαν  τη σκιά ενός αμπαζούρ.

( Εξ αιτίας ακριβώς αυτής της αφ’ υψηλού θεωρήσεως των μαθηματικών και της επιμονής στον χάρακα και τον διαβήτη μερικοί μαθηματικοί δεν πολυεκτιμούν τον Πλάτωνα. Ο μεγάλος Βρεταννός στοχαστής του 19ου αιώνος, ο Αύγουστος Ντε Μόργκαν (Augustus de Morgan)παρετήρησε καυστικά ότι το επίγραμμα «ουδείς αγεωμέτρητος εισίτω»— δηλαδή, «να μη μπη κανείς πού ν’ αγνοή τη γεωμετρία»— πού λέγεται ότι ο Πλάτων είχε γράψει στις πύλες της Ακαδημίας του, δεν εσήμαινε ότι μέσα εκεί εδιδάσκετο η καλή γεωμετρία. Θα μπορούσε ναεκληφθή μάλλον, ειρωνεύεται ο Βρεταννός φιλόσοφος, με τη σύσταση «μη ξεχάσετε να φέρετε ένα πακέτο με σάντουιτς.... πού σας υπόσχονται ένα καλό γεύμα»).

Ο Απολλώνιος συνέβαλε στην ανάπτυξη των μαθηματικών μελετώντας τις σπουδαιότερες εκδοχές από μια σειρά χαριτωμένων καμπυλών, πού τις περιέγραψε σ’ ένα σύγγραμμα με τον τίτλο Κωνικά — η κώνου τομαί. Τις ονόμασε έτσι γιατί τις παρουσίασε ως διατομές ενός κώνου από ένα επίπεδο. Σαν να έπαιρνε νοερά ένα πριόνι για να κόψη ένα χωνάκι παγωτού. Ανάλογα με τη θέση του κώνου και του τέμνοντος επιπέδου, η τομή ήταν ένας κύκλος, μια έλλειψη, μια παραβολή η μια υπερβολή (εικόνες δεξιά). Ύστερα απέδειξε ότι υπήρχαν σχέσεις μεταξύ των διαφόρων τομών του κώνου. Στα καθαρά μαθηματικά όλες αυτές οι ιδιοφυείς σκέψεις δεν έχουν ανάγκη πρακτικών επαληθεύσεων. Και όμως επαληθεύθηκαν δίπλα στην πράξη, αφού απεδείχθη ότι οι κωνικές τομές είναι οι τροχιές πού ακολουθούν τα βλήματα, οι δορυφόροι, η γη και το φεγγάρι, κάτω από την επίδραση της βαρύτητας και γύρω από τους πλανήτες και τα ηλιακά συστήματα.

Ο Αρχιμήδης, αντίζηλος και φίλος του Απολλώνιου, ξεπέρασε με τη δημιουργική του αίσθηση και τις ικανότητες του ως μαθηματικού τον ανταγωνιστή και σύγχρονο του, σε τέτοιο βαθμό ώστε να τον θεωρούν, στην ειδικότητα του, μαζί με τον Νεύτωνα και τον Γκάους έναν από τους τρεις μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών. Έχουν περάσει 2.000 χρόνια και όλες οι ανακαλύψεις του Αρχιμήδη μας φαίνονται ακόμα πρόσφατες. Κι όμως ποτέ δεν βγήκε από το αυστηρό πλαίσιο της πλατωνικής διδασκαλίας και δεν είχε στη διάθεση του ούτε την άλγεβρα, τηναπλοποιητική αυτή μέθοδο πού επιτρέπει τη συντόμευση των συλλογισμών, ούτε ακόμα ένα εύχρηστο σύστημα γραφής των μεγάλων αριθμών πού ήταν υποχρεούμενος να χρησιμοποίηση.

Ελάχιστοι Έλληνες ήξεραν να παραστήσουν ένα μεγάλο αριθμό. Ο Αρχιμήδης υπερπήδησε το δύσκολο αυτό εμπόδιο και σε μια επιστημονική πραγματεία με τίτλο Άμμου Μέτρησις επροπαγάνδισε ένα σύστημα αριθμήσεως, παίρνοντας ως βάση τη μυριάδα, δηλαδή τον ελληνικό αριθμό 10.000. Στην πρώτη τάξη κατέταξε τους αριθμούς πού είναι κατώτεροι από μια μυριάδα μυριάδων, δηλαδή από 100 εκατομμύρια. Ύστερα ονόμασε «αριθμούς της πρώτης περιόδου» τους αριθμούς της πρώτης τάξεως, τους οποίους ύψωσε σε δυνάμεις κατώτερες από μία μυριάδα μυριάδων, δηλαδή αριθμούς κατώτερους από μια μυριάδα μυριάδων υψωμένων στη δύναμη μιας μυριάδας μυριάδων η 100.000.000 εις την ν (το ν= 100.000.000).

Ακολουθώντας τη θεωρία του μπόρεσε να ύψωση τον τεράστιο αυτόν αριθμό στη δύναμη μιας μυριάδας μυριάδων και να βρή έναν άλλον, ο όποιος στο δικό μας δεκαδικό σύστημα θα παριστάνετο με 1 και 80 εκατομμύρια εκατομμυρίων μηδενικά. Παρέλαση εντυπωσιακή πού συγκροτεί έναν ικανοποιητικό αριθμό— παρατηρεί ο ίδιος. Το αμέτρητο κοπάδι.

Οι μεγάλοι αριθμοί δεν τρόμαζαν τον Αρχιμήδη. Κανένας φραγμός δεν υπήρχε για τη διάνοια του .Έτσι μπόρεσε, σύμφωνα τουλάχιστον με την παράδοση, να βασανίζη τους συνεργάτες του θέτοντας τους ένα από τα φοβερώτερα μαθηματικά αινίγματα—το αίνιγμα για το κοπάδι του Υπερίωνα.«Ω ξένε, αν είσαι ευφυής και σώφρων, βρες τα κεφάλια των αγελάδων του Ηλίου, πού μια φορά κι έναν καιρό έβοσκαν στα λειβάδιατης Σικελίας, του νησιού με τα τρία ακρωτήρια». Λέγοντας «αγελάδες του Ηλίου» ο Αρχιμήδης εννοούσε αυτές πού ανήκαν στον Υπερίωνα, τον ηλιακό θεό, και με σοβαρότητα προχωρούσε στην περιγραφή των χρωμάτων των αγελάδων και των ταύρων πού αποτελούσαν το κοπάδι. Χάρη σε μια ελαφρά διφορούμενη διατύπωση, το πρόβλημα είχε δύο απαντήσεις: τον αριθμό 5.916.837.175.686 η έναν άλλον, πού γράφεται, στο δικό μας δεκαδικό σύστημα, με 206.545 ψηφία. Κανένας, ακόμα και ο χαλκέντερος Αρχιμήδης, δεν θα μπορούσε να διατύπωση έναν παρόμοιο αριθμό, εκτός εάν ζούσε κάμποσους αιώνες ακόμη. Το γούστο στο αστείο του Αρχιμήδη βρισκόταν ίσως σ’ αυτήν ακριβώς την αδυναμία όλων των συνομιλητών του να υπολογίσουν ένα αριθμητικό αποτέλεσμα πού χρειαζόταν έναν αριθμό τόσο σημαντικό.

Ο υπολογισμός του όγκου της σφαίρας ήταν η ανακάλυψη για την οποία υπερηφανευόταν ο Αρχιμήδης περισσότερο από τις άλλες επιτυχίες του. Είχε υπολογίσει ότι ο όγκος της σφαίρας είναι ίσος με τα δύο τρίτα του όγκου του μικρότερου κυλίνδρου πού είναι περιγεγραμμένος στη δεδομένη σφαίρα. (Σύμφωνα με την επιθυμία του, παρέστησαν πάνω στην ταφόπετρα του—πέθανε το 212 π.Χ. —τη σφαίρα και τον κύλινδρο, πού τον είχαν τόσο απασχολήσει. Εκατό πενήντα χρόνια αργότερα ο Κικέρων, σ’ ένα προσκύνημα του στον τάφο του Αρχιμήδη, καθάρισε τον τάφο του μεγάλου μαθηματικού από τις κληματόβεργες και το χώμα πού τον έκρυβαν και τον έρριχναν έτσι στη λήθη. Για να απόδειξη ότι ο όγκος του πιο μικρού περιγεγραμμένου κυλίνδρου σε μια σφαίρα είναι ίσος με τα 2/3 του όγκου της σφαίρας, ο Αρχιμήδης χρειάσθηκε ναπροστρέξη στη μέθοδο του τεμαχισμού σε απειροελάχιστα τμήματα, πού είχαν χρησιμοποιήσει οι προγενέστεροι Έλληνες για το εμβαδόν του κύκλου. Αφού βρήκε τον όγκο απέδειξε με τη μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής ότι ο όγκος της σφαίρας δεν μπορεί να είναι ούτε μεγαλύτερος, ούτε μικρότερος από την ποσότητα αυτή. Την ίδια μέθοδο εφήρμοσε για να υπολογίση μερικές επιφάνειες πού ορίζονται από παραβολές και διάφορες ελικοειδείς καμπύλες. Ανέπτυξε τη χρήση αυτής της μεθόδου και εξετίμησε τους όγκους πού σχηματίζουν μερικές τομές κώνου με την περιστροφή γύρω από τους άξονες των.

Ο Αρχιμήδης, πνεύμα με πρακτική έκφραση, υπήρξε επίσης και ένας εξ ίσου μεγάλος φυσικός και μηχανικός. Για όσους αγνοούν τις εργασίες του, το όνομα του Αρχιμήδη φέρνει μόνο την εικόνα ενός αφηρημένου σοφού, πού τρέχει γυμνός στους δρόμους των Συρακουσών φωνάζοντας «Εύρηκα! εύρηκα!» υστέρα από μια ανακάλυψη πού έκανε στο μπάνιο του. Αλλ’ αυτό πού είχε πράγματι ανακαλύψει είναι ένας θεμελιώδης νόμος της υδραυλικής, πολύτιμος για τη ναυπηγική. Όταν κάνουμε μπάνιο καταλαβαίνουμε ότι εκτοπίζεται ένας όγκος νερού ίσος με τον όγκο του σώματος μας. Ο Αρχιμήδης ανεκάλυψε όμως ότι κάθε στερεό σώμα πού επιπλέει σ’ ένα υγρό εκτοπίζει όγκο υγρού του οποίου το βάρος είναι ίσο με το βάρος του σώματος. Πιο απλά, ένα στερεό σώμα μέσα στο νερό χάνει τόσο βάρος όσο είναι το βάρος του νερού πού εκτοπίζει.

Αργότερα, ο Ρωμαίος αρχιτέκτων Βιτρούβιος εξήγησε γιατί ο Αρχιμήδης ενδιαφερόταν για το πρόβλημα αυτό. Ο Ιέρων, ο βασιλιάς των Συρακουσών, υποψιαζόταν ότι ένας από τους χρυσοχόους του, στον όποιο είχε παραδώσει καθαρό χρυσάφι, κατασκεύασε το στέμμα του από κράμα με ασήμι. Ο Ιέρων εμπιστεύθηκε την υποψία του στον Αρχιμήδη κι εκείνος βρήκε τη λύση του προβλήματος καθώς παρατηρούσε την ποσότητα του νερού πού είχε ξεχειλίσει από τον λουτήρα του. Μερικοί αλγεβρικοί υπολογισμοί και λίγη γεωμετρία του επέτρεψαν να προσδιορίση το βάρος του αργυρού πού ο χρυσοχόος είχε αναμίξει απατηλά στο βασιλικό στέμμα. Ο Αρχιμήδης θα ζύγισε ασφαλώς μάζες χρυσού και αργύρου ίσες με τον όγκο του στέμματος πρώτα στον αέρα κι ύστερα στο νερό. Όπως και αν είχε το πράγμα, ο Ιέρων έμεινε πολύ ικανοποιημένος και ο μόνος πού θα λυπήθηκε ήταν ο χρυσοχόος της Αυλής, του οποίου αγνοείται η τύχη.

Η ντετεκτιβική αυτή έρευνα του Αρχιμήδη στα στέμματα και τα υδραυλικά είναι ένα πολλοστημόριο της συμβολής του στην ανάπτυξη της Εφηρμοσμένης Μηχανικής. «Δός μοι πάστώ και τάν γάν κινήσω» (δος μου κάπου να σταθώ και θα κουνήσω τη γη.) Η περίφημη αυτή φράση του δεν ήταν καυχησιολογία άλλα εκδήλωση του ενθουσιασμού πού ένιωσε όταν ανακάλυψε τη μαθηματική σχέση στον μοχλό του πρώτου είδους. Του οφείλουμε επίσης την ανακάλυψη των αρχών πού διέπουν την εφαρμογή των τροχαλιών και των βαρούλκων, καθώς και διαφόρων μεθόδων για να προσδιορίζεται το κέντρο βάρους, άρχων στις όποιες προσφεύγουμε ακόμη και σήμερα για να χτίσουμε ένα. κτίριο η μια γέφυρα. Για να αντιληφθούμε την ικανότητα του να περνά από τη θεωρία στην πράξη, αρκεί ν’ αναφερθούμε στα κείμενα του Πλουτάρχου και άλλων, πού περιγράφουν πώς κατόρθωσε να συγκράτηση επί τρία ολόκληρα χρόνια χάρις στους ισχυρούς καταπέλτες, πού είχαν σχεδιασθή με την επίβλεψη του, και τις άρπαγες με τα μακριά ράμφη τα πλοία ενός ρωμαϊκού στόλου πού πολιορκούσε τις Συρακούσες. Μετά την αποτυχία της πρώτης του προσπάθειας ο Ρωμαίος στρατηγός Μάρκελλος απεκάλεσε τον Αρχιμήδη «αυτός ο Βριάρεως (το μυθολογικό τέρας με τα εκατό χέρια) της γεωμετρίας πού χρησιμοποιεί τα πλοία μας σαν κουβάδες για να αδειάζη το νερό από τη θάλασσα!»

Οι συνέπειες μιας βακχείας.

Δυστυχώς για τους Συρακουσίους ο Μάρκελλος, αφού κυρίευσε με αιφνιδιασμό έναν πύργο των οχυρών, κατόρθωσε να εξουδετερώση την αποτελεσματικότητα των οπλών του Αρχιμήδη, πού θα μπορούσαν να χαρακτηρισθούν «απόλυτα όπλα» για

την εποχή τους. Η έφοδος έγινε κατά τη διάρκεια ενός βακχικού νυκτερινού γλεντιού. Η ήμερα ξημέρωσε με σκηνές λεηλασίας και σφαγών και, παρά τις ειδικές διαταγές του Μαρκέλλου, ένας Ρωμαίος στρατιώτης σκότωσε τον Αρχιμήδη όταν τον βρήκε σε μιαν αυλή. Ο σοφός ήταν απασχολημένος, σχεδιάζοντας γεωμετρικά σχήματα πανό) στην άμμο.

ΤΑ ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΤΟΥ   ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Πράγματα ίσα προς  άλλο πράγμα είναι και μεταξύ τους ίσα.

Αν ίσα πράγματα προστεθούν σε ίσα, τα αθροίσματα είναι ίσα.

Αν ίσα πράγματα αφαιρεθούν από ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα.

Πράγματα πού έχουν αντίστοιχα όλα τα σημεία μεταξύ τους   είναι  ίσα.

Το ολόκληρο είναι πάντα μεγαλύτερο από το μέρος.

ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΟΥ  ΕΥΚΛΕΙΔΗ

Από ένα σημείο σ' ένα άλλο μία και μόνη ευθεία χαράσσεται.

Μία πεπερασμένη   ευθεία  μπορεί να προεκταθήαπεριόριστα σε ευθεία γραμμή από τα άκρα της.

Ο κύκλος καθορίζεται με κέντρο ένα οποιοδήποτε σημείο και ακτίνα  ίση με οποιαδήποτε πεπερασμένη γραμμή πού ξεκινάει από τα  κέντρο.

Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους.

Από ένα σημείο έξω από μία ευθεία μία και μόνη ευθεία χαράσσεται παράλληλη προς την ευθεία αυτή, επάνω στο Ίδιο επίπεδο.

Ο Αρχιμήδης ήταν τότε 75 ετών και ασφαλώς δεν θα τον ενδιέφερε πολύ αν θα ζήση η θα πεθάνη. Αν όμως είχε επιζήσει, θα είχε ίσως παραδώσει τη δάδα του δημιουργικού πνεύματος σε μερικούς Ρωμαίους άξιους να τον διαδεχθούν. Η απώλεια του σημείωσε οπωσδήποτε την αρχή μιας εποχής σκότους, πού θα διαρκούσε αιώνες, και σήμανε την πένθιμη κωδωνοκρουσία του πρόωρου θανάτου της ελληνικής γεωμετρίας, πού διατηρούσε ακόμη όλη την αλκή της.

Οι Ρωμαίοι ενδιαφέρθηκαν για τους καταπέλτες και τις άλλες μηχανές του Αρχιμήδη, αλλά περιφρόνησαν τελείως τις μαθηματικές ανακαλύψεις του. Στους επόμενους αιώνες, όταν η ρωμαϊκή αυτοκρατορία κλονιζόταν οργανικά και πνευματικά, μερικοί Έλληνες προσπάθησαν να επαναφέρουν στη ζωή το Αρχιμήδειο πνεύμα της δημιουργικής εκείνης. Από τους φορείς - επιγόνους του πνεύματος αυτού υπήρξε μια γυναίκα, η Υπατία, πού εδίδαξε στην Αλεξάνδρεια περί το 400 μ.Χ. Ήταν μία θαυμάσια μαθηματικός και το κάλλος της συναγωνιζόταν την ικανότητα της στην επιστήμη. Οι μαθηταί παρακολουθούσαν κατά εκατοντάδες τις παραδόσεις της. Δυστυχώς γι΄ αυτήν παρέμενε πιστή στις ελληνικές ειδωλολατρικές παραδόσεις, κι έτσι σκοτώθηκε άγρια από έναν όχλο αιρετικών χριστιανών. Ο Γίββων, στο έργο του Παρακμή και Πτώση της Ρωμαϊκής Αυτοκρατορίας, περιγράφει το τέλος της : «Την έδεσαν στο άρμα, της έβγαλαν τα ρούχα, την έσυραν σ’ ένα άδυτο κι εκεί της έγδαραν το δέρμα σε λουρίδες με ακονισμένα όστρακα, πριν παραδώσουν το ωραίο σώμα της πού σπάραζε στις φλόγες της πυρράς». Μαζί της, τα Ελληνικά Μαθηματικά, πού ξεψυχούσαν εδώ και πολλούς αιώνες, άφησαν την τελευταία τους πνοή. θα περάσουν σχεδόν δέκα αιώνες ώσπου να ξαναλάμψη το πνεύμα τους.

Πηγή: grmath4.phpnet.us