Challenging Recreational Mathematics: ▪Παραγωγισιμότητα και συνέχεια

Πέμπτη 12 Ιανουαρίου 2012

▪Παραγωγισιμότητα και συνέχεια

Αυτή η συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο μαρκαρισμένο σημείο αλλά ούτε και παραγωγίσιμη.

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x₀ του πεδίου ορισμού της, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Αυτό έχει ως συνέπεια το εξής: αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο τότε δεν μπορεί να είναι ούτε και παραγωγίσιμη. Αν όμως μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x₀ τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι είναι και παραγωγίσιμη σε αυτό. Για παράδειγμα η συνάρτησης της απολύτου τιμής $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με τύπο:

$f(x) = \begin{cases} x, & x\ge 0 \\ -x, & x < 0\end{cases}$

είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της, αλλά δεν είναι παραγωγίσιμη στο σημείο x = 0 (σε όλα τα άλλα είναι).

Η συνάρτησης της απολύτου τιμής είναι συνεχής παντού, αλλά όχι παραγωγίσιμη στο x = 0.

Διαισθητικά αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής: αν το h είναι θετικό, τότε η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο h θα είναι 1. Αντίθετα, αν το h είναι αρνητικό, η κλίση της εφαπτομένης από το 0 στο h είναι -1. Αυτό γραφικά δείχνει μια απότομη στροφή στο σημείο x=0. Ωστόσο ακόμα και συναρτήσεις με ομαλή γραφική παράσταση ενδέχεται να μην είναι παραγωγίσιμη σε ορισμένα σημεία (αυτά στα οποία η εφαπτομένη είναι κατακόρυφη). Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο:

$f(x)=\sqrt[3]{x}$

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0.

Ενδέχεται ακόμα μια συνάρτηση να είναι παντού συνεχής αλλά πουθενά παραγωγίσιμη. Το πρώτο γνωστό παράδειγμα συνάρτησης που είναι παντού συνεχής, αλλά πουθενά παραγωγίσιμη, είναι η συνάρτηση Weierstrass.

Πηγή: wikipedia