▪ Παράγουσα συνάρτηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

[Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1

Εκφώνηση

Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης , όταν η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα στο σημείο με τεταγμένη .
Λύση
Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το και οι παράγουσες της στο είναι οι συναρτήσεις:
.
Επειδή η γραφική παράσταση της ζητούμενης παράγουσας τέμνει τον άξονα στο σημείο , θα έχει εξίσωση που επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου Α.
Άρα:
.
Επομένως, η ζητούμενη παράγουσα της είναι η .(Βλέπε Σχήμα)

Μεθοδολογία

Για να βρούμε την παράγουσα μιας συνάρτησης που η γραφική της παράσταση διέρχεται από γνωστό σημείο Α εργαζόμαστε ως εξής:
Βρίσκουμε πρώτα τις παράγουσές της με τη βοήθεια των πινάκων παραγουσών συναρτήσεων και τις ιδιότητες των παραγουσών.
Προσδιορίζουμε τη ζητούμενη παράγουσα με τη βοήθεια των συνταγμένων του σημείου Α.
Επιμέλεια: Καρούσος Σωκράτης
Επιστημονικός έλεγχος: Μπαραλός Γεώργιος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2

Εκφώνηση
Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρείτε την αρχική συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(0,1).
i.
ii.
iii.
iv.
Λύση
i. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική G της f παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
ii. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.

Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι

.

Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
iii. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
iv. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της, ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων, συνεπώς έχει αρχική συνάρτηση.
Αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Παρατηρούμε ότι μια τέτοια συνάρτηση είναι η , διότι
.
Γνωρίζουμε ότι κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή , .
Δηλαδή .
Για να υπολογίσουμε τη σταθερά αξιοποιούμε το δεδομένο ότι η γραφική παράσταση της αρχικής που αναζητούμε διέρχεται από το σημείο Α(0,1), δηλαδή θα ισχύει .
Έχουμε .
Τελικά η ζητούμενη συνάρτηση είναι η .
Μεθοδολογία
Για να βρούμε μία συγκεκριμένη παράγουσα μιας συνάρτησης αναζητούμε αρχικά μια συνάρτηση , τέτοια ώστε να ισχύει .
Κάθε άλλη αρχική της παίρνει τη μορφή .
Αξιοποιούμε τα δεδομένα για να υπολογίσουμε τη σταθερά και να βρούμε τον τύπο της ζητούμενης παράγουσας.

Επιμέλεια: Ανδριόπουλος Θεόδωρος

Επιστημονικός έλεγχος: Μπερκέτης Νικόλαος

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3

Εκφώνηση
Ο συνολικός αριθμός Ν των πωλήσεων (σε χιλιάδες) ενός μοντέλου κινητού τηλεφώνου στους πρώτους 6 μήνες της κυκλοφορίας του εμφανίζει ρυθμό μεταβολής
, ( σε μήνες).
Να βρείτε τον συνολικό αριθμό των πωλήσεων στο τέλος του 6ου μήνα με δεδομένο ότι τον 3ο μήνα οι συνολικές πωλήσεις ήταν 7,5 χιλιάδες τηλέφωνα.
Λύση
Αφού ο ρυθμός μεταβολής είναι , τότε .

Όμως δίνεται άρα αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση προκύπτει ,
δηλαδή .
Έτσι, ο συνολικός αριθμός των πωλήσεων στο τέλος του 6ου μήνα θα είναι χιλιάδες τηλέφωνα.
Μεθοδολογία
Όταν δίνεται η συνάρτηση του ρυθμού μεταβολής μιας συνάρτησης , δηλαδή , όπου γνωστή συνάρτηση, και ζητείται ο υπολογισμός μιας τιμής της συνάρτησης , τότε βρίσκουμε μια συνάρτηση τέτοια ώστε . Από την ισότητα και αξιοποιώντας τα δεδομένα, βρίσκουμε τον τύπο της συνάρτησης και στη συνέχεια υπολογίζουμε τη ζητούμενη τιμή της.

Επιμέλεια: Ανδριόπουλος Θεόδωρος

Επιστημονικός έλεγχος: Μπερκέτης Νικόλαος