▪Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Επαναληπτικά θέματα (ΙΙΙ)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο

ΑΣΚΗΣΗ 1

Εκφώνηση
Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις και για τις οποίες ισχύουν:
για κάθε .
i) Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο και
ii)  και είναι δύο διαδοχικές ρίζες της .
Να αποδείξετε ότι:
α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
β) για κάθε .
γ)

ΑΣΚΗΣΗ 2

Εκφώνηση

Δίνεται η συνάρτηση με τύπο:
.
i. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση .
iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης .
iii. Να αποδείξετε ότι για κάθε , η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα.
iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει:

ΑΣΚΗΣΗ 3

Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση: , για κάθε .
i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο .
ii. Αν το σύνολο τιμών της είναι το , να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την .

iii. Να λύσετε την εξίσωση .
iv. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και .

ΑΣΚΗΣΗ 4

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση και ο μιγαδικός αριθμός:
για τον οποίο ισχύει ότι και .
i. Να γράψετε τον στη μορφή .
ii. Να αποδείξετε ότι: .
iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε

ΑΣΚΗΣΗ 5

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη στο και η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία και .
i. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
ii. Να βρείτε το πρόσημο της .
iii. Να λύσετε την εξίσωση .
iv. Να λύσετε την ανίσωση .

ΑΣΚΗΣΗ 6

Εκφώνηση
Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί: και .
Αν να υπολογίσετε τα όρια:
i.
ii.
iii.

ΑΣΚΗΣΗ 7

Εκφώνηση
Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός .
i. Να γραφεί ο μιγαδικός αριθμός στη μορφή .
ii. Αν να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο.
iii. Να υπολογίσετε το όριο .
iv. Να υπολογίσετε το όριο:

ΑΣΚΗΣΗ 8

Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει για κάθε .
i. Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης .
ii. Να αποδείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα .
iii. Να βρεθεί ο τύπος της .
iv. Αν επιπλέον να βρείτε το όριο .

ΑΣΚΗΣΗ 9

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε .Να βρείτε:
i. Το όριο: .
ii. Το όριο: .
iii. Το όριο:.
iv. Το .

ΑΣΚΗΣΗ 10

Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε και .
i. Να βρείτε το .
ii. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται.
iii. Να βρείτε το .
iv. Να λύσετε την εξίσωση: .

ΑΣΚΗΣΗ 11

Εκφώνηση

Δίνονται η συνεχής συνάρτηση , ο μιγαδικός αριθμός και η συνάρτηση με .
i. Να γράψετε τον στη μορφή .
ii. Αν ο είναι φανταστικός να αποδείξετε ότι .
iii. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της .

ΑΣΚΗΣΗ 12

Εκφώνηση
Δίνεται η συνάρτηση με τύπο για κάθε , όπου μιγαδικός με και . Να αποδείξετε ότι:
i. για κάθε
ii. Η είναι συνεχής.
iii. Υπάρχει τέτοιος, ώστε

ΑΣΚΗΣΗ 13

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει για κάθε .
i. Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
ii. Αν να βρείτε τον τύπο της .
iii. Να υπολογίσετε το όριο: .
iv. Να υπολογίσετε το όριο:

ΑΣΚΗΣΗ 14

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε .
i. Να αποδείξετε ότι: και .
ii. Να βρείτε το όριο: .
iii. Να βρείτε το όριο: .
iv. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε .

ΑΣΚΗΣΗ 15

Εκφώνηση
i.Αν να βρείτε το .
ii. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει:
για κάθε .
Να βρείτε το , αν είναι γνωστό ότι υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός.
iii. Να βρείτε το όριο: 

ΑΣΚΗΣΗ 16

Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε .
i. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την .
ii. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα.
iii.Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων και , αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση .
iv.Να λυθεί η εξίσωση: .

ΑΣΚΗΣΗ 17

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο και ο μιγαδικός αριθμός , τέτοιος ώστε: .
i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
ii. Να βρείτε τη συνάρτηση αν .
iii. Να βρείτε το

ΑΣΚΗΣΗ 18

Εκφώνηση
Δίνονται οι συναρτήσεις και .
i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων και .
ii. Να ορισθεί η συνάρτηση .
iii. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε την .
iv. Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης .

ΑΣΚΗΣΗ 19

Εκφώνηση
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με

 

i. Να βρείτε τα .
ii. Να υπολογίσετε το όριο: .
iii.Να υπολογίσετε το όριο: .
iv. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα .

ΑΣΚΗΣΗ 20

Εκφώνηση

Δίνεται η συνάρτηση με

και η για την οποία ισχύει:

και για κάθε
Να βρείτε:
i. Το αν υπάρχει το .
ii.Το όριο .
iii.Το όριο .
iv. Το όριο .

Πηγή: study4exams