Σε ποιο ποσοστό μπορούμε να καλύψουμε την επιφάνεια ενός επίπεδου τραπεζιού με ίσα κέρματα, χωρίς το ένα κέρμα να πατάει πάνω στο άλλο; Η απάντηση είναι ότι με τη διάταξη εξαγώνου έχουμε τη μεγαλύτερη κάλυψη, σε ποσοστό 90%. Το μέρος του συνολικού εμβαδού που θα καλυφθεί με αυτή τη διάταξη είναι π : 2sqrt3. Η απόδειξη έγινε μόλις στις αρχές του 20ου αιώνα. Το ανάλογο ερώτημα για τη διάταξη των σφαιρών στο χώρο είναι πολύ δυσκολότερο από αυτό της διάταξης των κύκλων στο επίπεδο. Το πρόβλημα πρωτοδιατυπώθηκε από τον J. Kepler (1571-1630), o οποίος σε μια πραγματεία του για τις νιφάδες του χιονιού αναφέρθηκε στο πόσο πυκνά μπορούν να τοποθετηθούν τα κουκούτσια των φρούτων, π.χ. των μήλων. Ο ίδιος όντας μαθηματικός εμπνεύστηκε από το συγκεκριμένο ερώτημα και το έθεσε στη γενικότερη μορφή του, δηλαδή ποια είναι η πυκνότερη διάταξη των σφαιρών. Το πρόβλημα έμεινε γνωστό ως εικασία του Kepler και πέρασαν αιώνες μέχρι να αποδειχθεί. Στο διεθνές συνέδριο των μαθηματικών του Παρισιού το 1900, ο David Hilbert το κατέταξε στη 18η θέση της λίστας των άλυτων προβλημάτων του.
Αναλογικά με το προηγούμενο πρόβλημα, και στην περίπτωση αυτή η εξαγωνική διάταξη είναι η καλύτερη. Δηλαδή τοποθετούμε μια σειρά σφαιρών σε εξαγωνικό σχήμα, στη δεύτερη σειρά τοποθετούνται οι σφαίρες στα κενά της πρώτης κ.ο.κ. Η πυκνότητα αυτής της διάταξης είναι π : sqrt18 = 0,74 περίπου, που σημαίνει ότι μπορούμε να καλύψουμε το 74% του χώρου. Δεν είχε βρεθεί καλύτερη λύση για τη διάταξη και για μεγάλο διάστημα δεν μπορούσε να αποδειχθεί ότι υπάρχει πυκνότερη διάταξη. Πρώτος ο Carl Gauss το 1831 απέδειξε αυτήν την υπόθεση με τη δεσμευτική προϋπόθεση ότι οι σφαίρες της διάταξης δημιουργούν ένα κανονικό σχήμα. Το πρόβλημα γενικά παρέμενε άλυτο, μέχρι που μόλις το 1998 ο Thomas Hales κατάφερε να αποδείξει ότι αυτή η μέθοδος συσκευασίας είναι η πυκνότερη.
Πηγή: Διπλωματική εργασία Π. Αρώνη
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου