α) Δείξτε ότι 27 είναι το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών.β) Δείξτε ότι 3^5 είναι το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών.
γ) Δείξτε ότι οποιαδήποτε πολλαπλάσιο του 3 είναι το άθροισμα τριών διαδοχικών ακεραίων αριθμών.
δ) Δείξτε ότι 3^100 είναι το άθροισμα εννέα διαδοχικών ακεραίων αριθμών.
ΛύσηΗ απάντηση βασίζεται στην ταυτότητα
3k = (k −1) + k + (k +1).
α) Αρκεί να δείξουμε ότι έχει λύση στο σύνολο των ακεραίων η εξίσωση:
ΑπάντησηΔιαγραφή(ν-1) + ν + (ν+1) = 27 ή
3ν=27 ή
ν=9. Οπότε 27=8+9+10
β) Ομοίως 3ν=3^5 ΄ή ν=3^4=81
Οπότε: 3^5=80+81+82
γ) Έστω 3κ τυχαίο πολ/σιο του 3
Τότε:(ν-1)+ν+(ν+1)=3κ ή ν=κ
δ)Αν ν είναι ο 5ος κατά σειράν ακέραιος εκ των εννέα ζητουμένων τότε το άθροισμά τους είναι 9ν.
Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι η εξίσωση 9ν=3^100 έχει λύση στο σύνολο των ακεραίων. Αυτή γράφεται
ισοδύναμα ν=3^98. Οπότε:
3^100=3^98-4 + 3^98-3 + 3^98-2 + 3^98-1 + 3^98 + 3^98+1 + 3^98+2 3^98+3 3^98+4.
N. Lntzs