▪ Κριτήριο παρεμβολής

Έστω τρεις πραγματικές συναρτήσεις και x0 ένα σημείο συσσώρευσης του Α. Αν ισχύει:

 , για κάθε

και:

τότε:

Απόδειξη

Η απόδειξη χρησιμοποιεί τον ε-δ ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x0. Ξεκινούμε με ένα τυχαίο ε > 0 και ζητούμε ένα δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε να ικανοποιείται ο ορισμός του ορίου συνάρτησης.

Έστω ε > 0. Αφού ισχύει

   

έχουμε ότι:

υπάρχει δ1 > 0 τέτοιο ώστε: αν και 0 < | x − x0 | < δ1 τότε  

υπάρχει δ2 > 0 τέτοιο ώστε: αν και 0 < | x − x0 | < δ2 τότε  

Ορίζουμε δ = min{δ1,δ2} > 0. Τότε αν 0 < | x − x0 | < δ έχουμε:

 και άρα  | g(x) − L | < ε

και άρα | h(x) − L | < ε.

Επομένως έχουμε:

| g(x) − L | < ε και άρα   

| h(x) − L | < ε και άρα  

και αφού 

για κάθε ισχύει ότι:

Από την πιο πάνω παίρνουμε την:

και τελικα

| f(x) − L | < ε.

Η τελευταία σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 επομένως από τον ορισμό του ορίου συνάρτησης:

Πηγή: wikipedia