Το τρίγωνο παρακάτω έχει στην 1η σειρά, τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 5 και οι αριθμοί στις επόμενες σειρές προκύπτουν από το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται ακριβώς από επάνω τους.
1 2 3 4 5
3 5 7 98 12 16
20 28
48
Αν στην πρώτη σειρά ήταν οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 5, ....., 2000, τότε ποιος αριθμός θα βρισκόταν στο κάτω μέρος του τριγώνου;
Η τρίτη κορυφή του τριγώνου με αριθμούς στην πρώτη σειρά 1, 2, 3, 4, 5, ....., 2000 είναι ο αριθμός 2001*2^1998.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠιο γενικά, αν η πρώτη σειρά έχει τους
1 2 3 .... ν
τότε η νιοστή σειρά έχει μόνο ένα αριθμό, έστω τον ανπου ισχύει αν=(ν+1)*2^(ν-2).
΄Η ακόμα πιο γενικά, το πρόβλημα ανάγεται στη εύρεση του πρώτου όρου κάθε σειράς (υπό τον όρο ότι η πρώτη σειρά έχει τους φυσικούς 1,2,3, ...)
και οι οποίοι μπορούν να θεωρηθούν όροι της ακολουθίας 1, 3, 8, 20, 48, 112, 256, ... με γενικό όρο αν ν=1,2,3,...
Ο γενικός όρος αυτής "εύκολα" αποδεικνύεται ότι είναι αν=(ν+1)*2^(ν-2).
Και μια παρατήρηση:
Η κάθε σειρά (έστω η κ) είναι αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο τον ακ και διαφορά ω=2^(κ-1).
Π.χ. η 4η σειρά έχει πρώτο όρο το α4=20 και ω=2^3=8, δηλ: 20, 28, 36, ...
Έτσι μπορούμε να βρούμε οποιονδήποτε όρο οποιασδήποτε σειράς, καθώς και το άθροισμά της.
N. Lntzs