▪ Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στο Λύκειο

ΜΙΑ ΚΑΙΝΟΥΡΓΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΗΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ

ΤΗΣ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ 

(Συνοπτική περιγραφή - ενημέρωση) 

Μ. Λάμπρου - Μ. Παπαδάκη - Θ. Πετρέσκου - Α. Στράντζαλος - Π. Στράντζαλος 

Εισαγωγή 

Θα επιχειρηθεί μια πειραματική διδασκαλία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (Ε.Γ.) στο Λύκειο σε ένα πλαίσιο που διαφέρει από το τώρα υλοποιούμενο τόσο σε σημαντικές λεπτομέρειες του προγραμματισμού και του συνακόλουθου τρόπου διδασκαλίας, όσο (και κυρίως) ως προς την άποψη που το διέπει και τους παιδευτικούς - εκπαιδευτικούς στόχους που θα επιδιωχθούν.

Το εγχείρημα δεν αποτελεί «κεραυνό εν αιθρία»: εντάσσεται στο από καιρό εξελισσόμενο ερευνητικό πρόγραμμα του Πολυχρόνη Στράντζαλου με γενικό θέμα τη συνθετικά νοούμενη «Ιστορία και Διδακτική των Μαθηματικών»· ειδικότερα, εντάσσεται στο υπο-θέμα «Διαμόρφωση μιας καινούργιας συνολικής πρότασης για τη μαθηματική εκπαίδευση στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο, με τη δυναμική της συνεχούς βελτίωσης μέσα από την ανάδραση θεωρίας και πράξης και με βασικό εργαλείο την εμπεριστατωμένη Ιστορία των Μαθηματικών».

Η επιμέρους πρόταση που θα παρουσιασθεί συνοπτικά στη συνέχεια εξειδικεύει το προηγούμενο υπο-θέμα στη Ε.Γ. και προορίζεται για διδασκαλία στην Α΄ και στη Β΄ Λυκείου. Μια επεξεργασμένη «αρχική συνθήκη» της πρότασης αυτής (με σποραδικό πειραματισμό σε τάξεις Β΄ Λυκείου) υπάρχει ήδη. Οι σχετικές επεξεργασίες, που προήλθαν και από συνεργασίες με εκπαιδευτικούς και ειδικούς επιστήμονες, έχουν περάσει από τη βάσανο του πίνακα σε επάλληλα προπτυχιακά και μεταπτυχιακά μαθήματα στα Μαθηματικά Τμήματα των Πανεπιστημίων Αθήνας και Κρήτης, καθώς επίσης και σε επάλληλα επιμορφωτικά μαθήματα - σεμινάρια (κυρίως στην περιοχή Αττικής). 

Η ομάδα εργασίας 

Επειδή ό,τι αφορά την εκπαίδευση είναι πολυσχιδές και πολυεπίπεδο, το πέρασμα από τις, κρίσιμες για την ποιότητα της πρότασης, θεωρητικές επεξεργασίες (και τον σποραδικό πειραματισμό) στην, κατάλληλα προετοιμασμένη, διδακτική πρακτική (και τον πειραματικό έλεγχο) δεν θα αποδώσει, αν δεν ενταχθεί λειτουργικά σε μια συλλογική προσπάθεια· αν δεν αποτελέσει, δηλαδή, το αντικείμενο δουλειάς, «με λογισμό και μ’ όνειρο», μιας ομάδας ειδικών, τα μέλη της οποίας θα συνεργάζονται ισότιμα και θα έχουν συμπληρωματικές δεξιότητες, γνώσεις και εξειδικεύσεις σε σχέση με τον υπό διαμόρφωση προγραμματισμό και τη συνακόλουθη διδασκαλία - συζήτηση στην τάξη.

Ο πειραματισμός προβλέπεται να αρχίσει την προσεχή σχολική χρονιά (2004 - 2005) στην Α΄ Λυκείου του Πειραματικού Σχολείου του Πανεπιστημίου Αθηνών. Η ομάδα που συνυπογράφει την πρόταση συγκροτείται από τα εξής πέντε μέλη:

Μιχάλης Λάμπρου, Καθηγητής του Μαθηματικού Κρήτης

Μαλβίνα  Παπαδάκη, M.Sc. του Μαθηματικού Illinois, Urbana ─ Καθηγήτρια του Πειραματικού Σχολείου του Πανεπιστημίου Αθηνών.

Θεόδωρος Πετρέσκου, Διδάκτωρ του Μαθηματικού Αθήνας ─ Καθηγητής του Πειραματικού Σχολείου του Πανεπιστημίου Αθηνών

Αθανάσιος Στράντζαλος, Μεταπτυχιακό στην κατεύθυνση της Διδακτικής του Μαθηματικού Αθήνας ─ Υποψήφιος Διδάκτωρ στο Μαθηματικό Αθήνας

Πολυχρόνης Στράντζαλος, Ομότιμος Καθηγητής του Πανεπιστημίου Αθήνας. 

Μολονότι η λειτουργία της ομάδας θα είναι συλλογική, για να ενισχυθεί η αποτελεσματικότητα, οι επιμέρους ευθύνες έχουν καταμερισθεί ως εξής:

·    ο Μ. Λάμπρου θα έχει την ευθύνη για την τεκμηρίωση των προτάσεων,

·    η Μ. Παπαδάκη και ο Θ. Πετρέσκου θα έχουν την ευθύνη της διδασκαλίας,

·    ο Α. Στράντζαλος θα συμμετέχει στην τεκμηρίωση, στον πειραματισμό και θα έχει την ευθύνη για την τελική επιμέλεια των κειμένων και

·    ο Π. Στράντζαλος θα έχει την ευθύνη του συντονισμού και θα συμμετέχει στην τελική επιμέλεια των κειμένων. 

Οι κύριοι άξονες της πρότασης 

Όπως δείχνουν (τουλάχιστον) η συστηματικά μεγάλη αποτυχία στις εξετάσεις και η, διάχυτη στην συντριπτική πλειοψηφία των μαθητών, φοβία για τα Μαθηματικά, η μαθηματική μας εκπαίδευση χρειάζεται επειγόντως ριζική αναθεώρηση και ποιοτική αναβάθμιση. Πιστεύουμε ότι θεμελιώδης προϋπόθεση για μια πορεία ανέλιξης της μαθηματικής μας εκπαίδευσης είναι η μετατόπιση του κέντρου βάρους της από την παροχή εξειδικευμένης γνώσης (στην πράξη προς «εξεταστική κατανάλωση») προς την παροχή στοιχείων παιδείας και τη συμβολή στη συγκρότηση των μαθητών στα πλαίσια της Γενικής Παιδείας, με τη «βασική γνώση» να περιορίζεται σε όσα αρκούν για την υπηρέτηση των προηγούμενων στόχων.

Αυτό σημαίνει, ανάμεσα στα άλλα, ότι η μαθηματική μας εκπαίδευση δεν θα εξ-αντλείται στο να ασκεί τους μαθητές στη φορμαλιστική συλλογιστική, και να παρέχει «στεγνή γνώση», αλλά και θα αναδεικνύει τα Μαθηματικά σε «πολιτισμικό αγαθό» (όπως προκύπτει από την Ιστορία τους), αξιοποιώντας τα «αποθέματα» παιδείας που ενέχουν, τα οποία μπορεί να «απελευθερώσει» μια κατάλληλα προγραμματισμένη και υλοποιούμενη διδασκαλία - συζήτηση στη τάξη.

Το ότι τα Μαθηματικά αποτελούν «πολιτισμικό αγαθό» και μπορούν να αποτελέσουν μοναδικό πεδίο «άσκησης στην κριτική σκέψη» σε προπανεπιστημιακό επίπεδο, γίνεται ιδιαίτερα αντιληπτό στη Ε.Γ. που μας ενδιαφέρει εδώ. Για παράδειγμα:

·    Η επαναστατική, σε πανανθρώπινη κλίμακα και για όλες τις εποχές, «αξιωματικοποίηση της Ε.Γ.» στην Αρχαία Ελλάδα, αν ενταχθεί στο συνολικό ιστορικό της πλαίσιο, δεν αποτελεί παρά αποκρυστάλλωση στο επίπεδο της τότε «αναδυόμενης επιστήμης» της τότε διάχυτης τάσης να αναζητούνται οι «πρωταρχικές αιτίες - έννοιες», που συμβάλλουν στην κατανόηση - εξήγηση ποικίλων φαινομένων και δομών και στην απάντηση ερωτημάτων που υπερβαίνουν το αισθητό.

·    Από την άλλη, όπως εικάζεται, ήδη ο Πλάτων είχε επισημάνει τον παιδευτικό ρόλο της τότε γνωστής Ε.Γ. για το ποιοτικό πέρασμα από τη συγκεκριμένη και υπολογιστική προς την αφηρημένη και συλλογιστική σκέψη.

Με όλα όσα προηγήθηκαν υπόψιν, προτείνουμε ο επικείμενος προγραμματισμός να επιχειρηθεί, με σταδιακά εξελισσόμενη πορεία από το εποπτικό προς το αφηρημένο, σύμφωνα με τους επόμενους άξονες που θεωρούνται συνθετικά: 

Α΄ Λυκείου 

Α.1. Σύντομη ανασκόπηση της πορείας της ανθρωπότητας προς τον πολιτισμό, με έμφαση σε ό,τι σχετίζεται με τα Μαθηματικά.

Α.2. Εξειδίκευση του προηγούμενου άξονα στην πολιτισμική αιχμή που συντελέστηκε στην Αρχαία Ελλάδα, όπου είναι πιο ευδιάκριτη η ουσιαστική αλληλεπίδραση μεταξύ του γενικότερου πολιτικού, φιλοσοφικού και καλλιτεχνικού περιβάλλοντος και των Μαθηματικών (με έμφαση στην Ε.Γ. και στη Θεωρία Αριθμών).

(Η, έστω και δειγματοληπτική, ενασχόληση με τα θέματα αυτά, θα διευκολύνει τους μαθητές να κατανοήσουν τι εννοούμε λέγοντας ότι τα Μαθηματικά αποτελούν «πολιτισμικό αγαθό». Με δεδομένο το ότι οι διακλαδικές θεωρήσεις και συνδιδασκαλίες αυξάνουν το ενδιαφέρον των μαθητών, το μέρος αυτό του πειραματισμού θα μπορούσε να αποτελέσει αντικείμενο συνεργασίας με τους ιστορικούς και τους φιλολόγους του Σχολείου.)

Α.3. Λεπτομερής ανάλυση ενός αυτοτελούς μέρους από το έργο του Αρχιμήδη, το οποίο μπορεί να συζητηθεί στην τάξη σε λίγο χρόνο, έχει εποπτικό χαρακτήρα, την «επιστημονική χροιά» της Ε.Γ. και (το κυριότερο) δείχνει με ενάργεια πώς μπορούμε να καταλήξουμε ακόμα και σε πρακτικά αξιοποιήσιμα συμπεράσματα συλλογιζόμενοι στη βάση απλών και αβίαστα αποδεκτών «παραδοχών», δίκην «αξιωμάτων».

(Ο άξονας αυτός είναι σχετικά «εύπεπτος» και εισάγει ομαλά στο κλίμα της Ε.Γ.)

Α.4. Εισαγωγή στην (επίπεδη) Ε.Γ. μέσω ολιγάριθμων «παραδοχών» που γίνονται εύκολα αποδεκτές. - Εκτενής σχολιασμός των «παραδοχών», στο πλαίσιο των οποίων επιβάλλεται να πειθαρχήσουν τη σκέψη τους οι μαθητές, και συναγωγή των πρώτων συνεπειών τους, στο πνεύμα του Ευκλείδη, με ευρύτερη εφαρμοσιμότητα.

Α.5. Πρώτο στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας της Ε.Γ.: εισαγωγή στη «Μετρική Γεωμετρία» με ποσοτικοποίηση των «μεγεθών». - Συναγωγή περαιτέρω συμπερασμάτων με βασικό εργαλείο τις ιδιότητες της απλής έννοιας του εμβαδού.

 Α.6. Δεύτερο στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας της Ε.Γ.: «αλλαγή πλαισίου» με αξιοποίηση των «αρχών της Φυσικής» (που κατοχυρώθηκαν στο Α.3) για την αντιμετώπιση γεωμετρικών θεμάτων.

Α.7. Τρίτο στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας της Ε.Γ., με ενίσχυση της συλλογιστικής - φορμαλιστικής συνιστώσας στο σύνηθες εποπτικό - φορμαλιστικό πλαίσιο του Ευκλείδη και συζήτηση κάποιων εφαρμογών.

Α.8. Ενδεικτικές και σύντομες αναφορές σε Μη Ευκλείδειες «Γεωμετρίες», με στόχο να σπάσει το αντι-παιδευτικό μονήρες της μοναδικότητας της Ε.Γ. και να αναδειχθεί ο καθοριστικός ρόλος του «ελλείμματος» των γωνιών ενός τριγώνου στον χαρακτηρισμό της Ε.Γ. 

Β΄ Λυκείου 

Β.1. Ανακεφαλαίωση όσων προηγήθηκαν (κυρίως στο πνεύμα του Α.7), με επιλεγμένες συμπληρώσεις - προεκτάσεις που θα αναδεικνύουν το κλασικό πνεύμα της Ε.Γ.

Β.2. Εισαγωγή των «γεωμετρικών μετασχηματισμών» στην Ε.Γ. όχι μέσω τύπων, αλλά ως απεικονίσεων από (ολόκληρο) το επίπεδο στον εαυτό του, οι οποίες ενισχύουν το μεθοδολογικό «οπλοστάσιο» της Ε.Γ., επιτρέπουν αποκλίσεις προς την Τέχνη,  ενθαρρύνουν - δομούν την αυτο-άσκηση της «κριτικής σκέψης» των μαθητών και ενεργοποιούν τη φαντασία τους με όρους «ολιστικής θέασης», η οποία απορρέει από «στερεές κινήσεις» ολόκληρων σχημάτων και οδηγεί σε «αποδείξεις χωρίς λόγια». - Έκφραση των «γεωμετρικών μετασχηματισμών» μέσω των τύπων τους στο καρτεσιανό μοντέλο της Ε.Γ., με στόχο να βιώσουν οι μαθητές τα πλεονεκτήματα της «αλλαγής πλαισίου», δηλαδή του «παιδευτικού παιγνιδιού» που απελευθερώνει (α) η ανάδραση μεταξύ θεωρητικών συλλογισμών και υπολογιστικών μεθόδων και (β) η επιλογή της εκάστοτε καταλληλότερης μεθόδου, όταν προσφέρονται τουλάχιστο δύο μέθοδοι με σαφώς διαφορετική χροιά για την ίδια «κατάσταση προβληματισμού».

Β.3. Το κυρίως παιδευτικό μέρος του προτεινόμενου προγράμματος, με προσπάθεια ανάδειξης της «εσωτερικής αισθητικής» της Ε.Γ.: συζήτηση στην τάξη διδακτικών ενοτήτων μέσης διάρκειας, οι οποίες θα παράγουν και τη μη διδαγμένη «βασική γνώση» που χρειάζονται και θα είναι ενταγμένες στο παιδευτικό πλαίσιο «της προσομοίωσης των διεργασιών του (κάθε) μαθητή (χωριστά) προς εκείνες του ερευνητή». Οι ενότητες αυτές, εκτός από τη μεστή γνώση που θα προσφέρουν,

-      θα ενθαρρύνουν την ενεργή συμμετοχή των μαθητών στα δρώμενα στην τάξη («κονστρουκτιβισμός»),

-      θα τους προτρέπουν σε παιδευτικές, ερευνητικού τύπου, υπερβάσεις και (παρά τη συνθετότητά τους)

-      δεν θα προκαλούν ισχυρές απογοητεύσεις, αφού το κυρίως ζητούμενο δεν είναι η τελική απάντηση στο εκάστοτε πρόβλημα (: η «Ιθάκη», στην οποία θα φτάνει πάντα η τάξη), αλλά το εξατομικευμένο παιδευτικό ταξίδι προς τη λύση (την «Ιθάκη»).

Τα «ανοικτά προβλήματα», ως ειδική περίπτωση της «προσομοίωσης» (όταν ιδωθούν με τα παιδευτικά - εκπαιδευτικά χαρακτηριστικά τους), θα διαμορφώσουν το πλαίσιο για να αναδειχθεί, παράλληλα με την παιδευτική δυναμική της, και η εφαρμοσιμότητα της Ε.Γ., αφού θα αναφέρονται (κυρίως) σε «πραγματικά προβλήματα».

Β.4. Στοιχεία Στερεομετρίας, με σημείο εκκίνησης τη γενίκευση στις τρεις διαστάσεις Προτάσεων που έχουν ήδη αποδειχθεί στην Επιπεδομετρία και με κλείσιμο ενδεικτικά παραδείγματα Προτάσεων της Επιπεδομετρίας, η απόδειξη των οποίων διευκολύνεται όταν ενταχθούν κατάλληλα σε τρισδιάστατο πλαίσιο (: και πάλι «αλλαγή πλαισίου»). 

Συμπληρωματικές παρατηρήσεις 

 (α) Η φροντίδα για την ανάθεση σε ομάδες μαθητών (σε εθελοντική βάση) «συνθετικών εργασιών» που θα παρουσιάζονται στην τάξη, θα πρέπει να αποτελεί βασική επιδίωξη της διδακτικής πρακτικής σε όλους τους προηγούμενους άξονες.

  (β) Οι «αποκλίσεις προς την Τέχνη» στο Β.2 αναφέρονται και στον ρόλο των «γεωμετρικών μετασχηματισμών» στη Ζωγραφική, τη Χαρακτική και τα διακοσμητικά πρωτόγονων λαών.

  (γ) Ενότητες που εντάσσονται στο Β.3 έχουν ήδη διδαχτεί σε σχολεία (Β΄ Λυκείου).

Σημείωση: Εφόσον δημιουργηθούν οι κατάλληλες συνθήκες, η ομάδα που προτείνει τον πειραματισμό αυτόν είναι πρόθυμη να συμβάλλει και σε σχετική επιμόρφωση των εκπαιδευτικών, που θα ήθελαν να διδάξουν, εν όλω ή εν μέρει, κάτι ανάλογο.