Εμβαδόν ορθογωνίου

Θεώρημα 

Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου ισούται με το γινόμενο των πλευρών του.

Δηλαδή αν α, β, οι πλευρές και Ε το εμβαδόν είναι:

$Ε = α\cdot{β}$

Απόδειξη

Έστω ένα ορθογώνιο ΑΒΓΔ, με ΑΒ = α και ΑΔ = β. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ=α, την ΑΒ κατά ΒΙ=β και σχηματίζουμε το τετράγωνο ΑΙΗΕ, το οποίο είναι φανερό ότι έχει πλευρά α+β και επομένως είναι:

(ΑΙΗΕ) = (α + β)²          (1).

Προεκτείνοντας τις ΔΓ και ΒΓ σχηματίζονται τα τετράγωνα ΔΓΖΕ, ΒΙΘΓ με πλευρές α, β αντίστοιχα και το ορθογώνιο ΓΘΗΖ που είναι ίσο με το ΑΒΓΔ. Έτσι έχουμε

(ΔΓΖΕ)=α², (ΒΙΘΓ) = β² και (ΓΘΗΖ) = (ΑΒΓΔ)       (2)

Είναι φανερό όμως ότι

(ΑΙΗΕ) = (ΑΒΓΔ) + (ΓΘΗΖ) + (ΒΙΘΓ) + (ΔΓΖΕ),

από την οποία με τη βοήθεια των (1) και (2) προκύπτει ότι:

(α + β)² = 2(ΑΒΓΔ) + α² + β².

Από αυτή μετά τις πράξεις καταλήγουμε στη σχέση

$(ΑΒΓΔ) = α\cdot{β}$.

Από το σχολικό βιβλίο της Γεωμετρίας Α΄ - Β΄ Λυκείου.