Πέμπτη 15 Σεπτεμβρίου 2011

▪ 1000 - γωνο

Τοποθετούμε αριθμούς στις κορυφές ενός 1000 - γώνου, με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε αριθμός, να είναι ίσος με τον μέσο όρο, των δύο γειτονικών του αριθμών.
Να αποδείξετε ότι όλοι οι αριθμοί είναι ίσοι!
Αναρτήθηκε από στις 15.9.11
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. pantsik28 Σεπτεμβρίου 2011 στις 3:04 μ.μ.

    Έστω πως σε κάποια κορυφή βρίσκεται ο αριθμός ν και πως στην προηγούμενη και στην επόμενη θέση βρίσκονται οι αριθμοί ν-κ και ν+κ ώστε να ισχύει η υπόθεση.
    Σε σχέση με την κορυφή του ν+κ ο προηγούμενος αριθμός είναι ο ν. Άρα ο επόμενος πρέπει να είναι ο ν+2κ.
    Σε σχέση με τον ν+2κ ο επόμενος είναι ο ν+3κ, κ.ο.κ. Κάποια στιγμή θα κλείσει ο κύκλος και θα πρέπει το ν+λκ να ισούται με το αρχικό ν-κ, για κάποιο λ φυσικό αριθμό. Αυτή η ισότητα επαληθεύεται για λ=-1 ή κ=0.
    Αφού όμως το λ είναι φυσικός αριθμός έχουμε κ=0, άρα όλοι οι αριθμοί του πολυγώνου είναι ίσοι με ν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)