▪ Επιφάνειες

Η έννοια της επιφάνειας είναι αρκετά διαισθητική και γνωστή από την εµπειρία. Π.χ. µιλάµε για την επιφάνεια µιας σφαίρας, ενός κώνου, ενός κυλίνδρου κ.λ.π. Μπορεί δε να οριστεί κατά πολλούς τρόπους. Στο πλαίσιο της Αναλυτικής Γεωµετρίας, σαν επιφάνεια θεωρούµε τον γεωµετρικό τόπο των σηµείων του χώρου, τα οποία ικανοποιούν µια ορισµένη γεωµετρική ιδιότητα. Π.χ. η επιφάνεια της σφαίρας ορίζεται από την χαρακτηριστική ιδιότητα των σηµείων της, ότι δηλ. απέχουν από ένα σταθερό σηµείο σταθερή απόσταση. Μεταφράζοντας την γεωµετρική ιδιότητα στην αλγεβρική γλώσσα καταλήγουµε σε µια σχέση των συντεταγµένων (x,y,z) των σηµείων της επιφάνειας, η οποία παίρνει την µορφή:

F(x,y,z)=0    (1)

H εξίσωση (1) πολλές φορές µπορεί να λυθεί ως προς µια των µεταβλητών, π.χ. ως προς z

z=f(x,y)    (2)

Άλλος τρόπος παρουσιάσεως των επιφανειών είναι ο παραµετρικός τρόπος, ο οποίος εκφράζεται από τις παραµετρικές εξισώσεις:

x=x(u,v) , y=y(u,v) , z=z(u,v)    (3)

Επίσης µια επιφάνεια µπορεί να ορισθεί από τον τρόπο που παράγεται. Είναι φανερό ότι µια καµπύλη του χώρου, η οποία κινείται κατά έναν ορισµένο τρόπο, παράγει µια επιφάνεια. Όταν η καµπύλη είναι ευθεία γραµµή, η επιφάνεια λέγεται ευθειογενής. Τέτοιες επιφάνειες είναι π.χ. οι κωνικές, κυλινδρικές κ.λ.π.

Όταν η καµπύλη περιστρέφεται γύρω από κάποιον σταθερό άξονα, η επιφάνεια, η οποία παράγεται λέγεται επιφάνεια εκ περιστροφής.

Οι επιφάνειες µπορούν να ταξινοµηθούν σε δυο κατηγορίες, ανάλογα µε την µορφή της αναλυτικής τους εξίσωσης:

α) σε αλγεβρικές επιφάνειες, όταν στην εξίσωση F(x,y,z)=0 η έκφραση F(x,y,z) είναι πολυώνυµο ως προς x,y,z και

β) σε υπερβατικές επιφάνειες όταν η εξίσωση τους δεν είναι αλγεβρική π.χ. η επιφάνεια µε εξίσωση z-sin(xy)=0.

Κάντε κλικ εδώ, για να διαβάσετε περισσότερα.