▪ Σιδη­ροδρομική γραμμή

Υπάρχουν τρία χαρακτηριστικά στην έννοια του ορίου τα οποία πρέπει να σημειώσουμε προσεχτικά. Αν κ είναι το όριο μιας πραγ­ματικής μεταβλητής χ, τότε: 

(1) το κ είναι σταθερό, 

(2) η αριθμη­τική διαφορά ανάμεσα στο χ και το κ γίνεται τελικά μικρότερη από οποιαδήποτε θετική ποσότητα ε, όσο μικρή και αν επιλεγεί, 

(3) η αριθμητική διαφορά ανάμεσα στο χ και το κ παραμένει τελικά μικρό­τερη από την ποσότητα ε.

Έστω ότι τα Α, Β και Γ, τρία συγγραμικά σημεία με το Β ανά­μεσα στα Α και Γ, παριστάνουν τρείς σταθμούς μιας ευθείας σιδη­ροδρομικής γραμμής και έστω χ η απόσταση από το Α ενός τρένου Τ που ταξιδεύει προς το Γ. Λαμβάνοντας υπόψη σας τα τρία χαρα­κτηριστικά του ορίου που περιγράψαμε πιο πάνω, απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις:

(α) Αν το τρένο Τ ξεκινά από το Α με σκοπό να συνεχίζει να κινεί­ται μέχρι να φτάσει στο Γ, είναι σωστό να πούμε ότι lim x = ΑΒ;

(β) Αν το τρένο ξεκινά από το Α με σκοπό να συνεχίζει να κινείται μέχρι το Β, είναι σωστό να πούμε ότι lim x =ΑΓ;

(γ) Υποθέτουμε ότι μια εμπορική αμαξοστοιχία Σ ταξιδεύει από το Α στο Γ και συμβολίζουμε με y την απόσταση της από το Α. Υποθέτουμε ακόμα ότι το τρένο Τ κινείται πάνω σε μια παράλ­ληλη τροχιά και φεύγει από το σημείο Α λίγο μετά από τη Σ, φτάνει τη Σ και στη συνέχεια ταξιδεύει παράλληλα με αυτό και με την ίδια ταχύτητα. Είναι σωστό να πούμε ότι lim x = γ;

(δ) Αν το τρένο Τ ξεκινά από το Α και ταξιδεύει με σταθερή ταχύ­τητα μέχρι που φτάνει στο τέρμα του Γ, είναι σωστό να πούμε ότι lim x = ΑΓ;

(ε) Υποθέτουμε ότι το τρένο Τ ξεκινά από το Α και ταξιδεύει προς το Γ με συνεχώς επιβραδυνόμενη ταχύτητα, έτσι ώστε σε 1

ώρα να έχει διανύσει το μισό της απόστασης ΑΓ, την επόμενη ώρα να έχει διανύσει το μισό της υπόλοιπης απόστασης, την επόμενη πάλι το μισό της απόστασης που έμεινε αυτή τη φορά κ.ο.κ. Είναι σωστό να πούμε ότι lim x = ΑΓ;

Η Απάντηση
(α) Όχι, η συνθήκη (3) δεν ισχύει,
(β) Όχι, η συνθήκη (2) δεν ισχύει,
(γ) Όχι, η συνθήκη (1) δεν ισχύει.
(δ) Ναι.
(ε) Ναι.