Challenging Recreational Mathematics: ▪ Ορισμένο ολοκλήρωμα

Να υπολογισθεί το ολοκλήρωμα: $\int_{ - 1}^1 \frac {|x|}{1 + e^x}\ dx$ .

H Απάντηση

$\int_{-1}^{1}\frac{|x|}{1+e^{x}}dx$

$=\int_{0}^{1}\frac{|x|}{1+e^{x}}dx+\int_{-1}^{0}\frac{|x|}{1+e^{x}}dx$

$=\int_{0}^{1}\frac{|x|}{1+e^{x}}dx-\int_{1}^{0}\frac{|-x|}{1+e^{-x}}dx$

$=\int_{0}^{1}\frac{|x|}{1+e^{x}}dx+\int_{0}^{1}\frac{|x|e^{x}}{1+e^{x}}dx$

$=\int_{0}^{1}|x|dx=\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}$