EisatoponAI: ▪ Ανισότητα Weitzenböck

Σε κάθε τρίγωνο με πλευρές a, b και c και εμβαδόν Δ ισχύει:

$a^2 + b^2 + c^2 \geq 4\sqrt{3}\, \Delta.$

(Roland Weitzenböck)

Απόδειξη

$\begin{align} & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & ab+bc+ca \\ \iff & & 3(a^2 + b^2 + c^2) & \geq & & (a + b + c)^2 \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3} \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & \sqrt{3 (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)} \\ \iff & & a^2 + b^2 + c^2 & \geq & & 4 \sqrt3 \Delta. \end{align}$