▪ Το μυστήριο του αριθμού φ

H ύπαρξη «πεφωτισμένων ομάδων» οι οποίες διαφύλαξαν μέσα στους αιώνες την «απαγορευμένη γνώση» είναι ένα ελκυστικό σενάριο για τους ανθρώπους κάθε εποχής και φυσικά της δικής μας. Ετσι, οι υπερσύγχρονοι νανοσωλήνες μπορεί να έχουν αρχαίες ρίζες.

---

(350 KB)

Από τους ναυτίλους του Αιγαίου ως τον κοχλία του ιωνικού κίονα, το βήμα ανέλιξης ήταν ο περιβόητος αριθμός Φ

Η εκλαΐκευση της επιστήμης και της τεχνολογίας πέρασε από πολλά κόσκινα, από τα χρόνια του Ιουλίου Βερν ως σήμερα. Αναμφίβολα όμως ένας αναγνώστης της προηγούμενης γενιάς νιώθει σοκαρισμένος από την απίστευτη ανατροπή που αυτή γνωρίζει την πρώτη δεκαετία του 21ου αιώνα: αντί να εστιάζει τον μεγεθυντικό φακό της στο μέλλον, γυρίζει με όλο και μεγαλύτερο ενδιαφέρον στο πιο σκοτεινό παρελθόν.
Από όλα αυτά εκείνο που κεντρίζει ιδιαίτερα τον αναγνώστη με επιστημονική περιέργεια είναι η ομολογουμένως συγκλονιστική διαιώνιση στον κόσμο μας ενός «χρυσού κανόνα». Οι Ευρωπαίοι τον πρωτογνώρισαν στα κείμενα και στα οικοδομήματα των δικών μας προγόνων ως μια γεωμετρική αναλογία διαδοχικών ευθύγραμμων τμημάτων, ορθογωνίων ή όγκων, που είναι «η πιο αρμονική και αισθητικά ευχάριστη στο μάτι».
Την είχε βρει ο Πυθαγόρας - τον 5ο αιώνα π.X. - και την είχε απεικονίσει στο σύμβολο της σχολής του, το πεντάγραμμα. Επειτα την εφήρμοσαν ο Ικτίνος, ο Καλλικράτης και ο Φειδίας στον Παρθενώνα, τη διατύπωσε μαθηματικά ο Ευκλείδης - το 300 π.X. -, την υιοθέτησε ο Πλάτωνας στα ιδεατά του σχήματα που συνθέτουν τον κόσμο και με βάση αυτήν έχτισαν οι Ρωμαίοι το Κολοσσαίο και την Αψίδα του Θριάμβου του Μεγάλου Κωνσταντίνου...
Μετά τον Μεσαίωνα και με το πέρασμα της πνευματικής σκυτάλης στους Δυτικούς, την ξαναβρήκε ο Λεονάρντο Πιζάνο-Μπονάτσι (γνωστός ως Φιμπονάτσι) όταν διδάχθηκε από τους Μαυριτανούς το δεκαδικό σύστημα και τις μαθηματικές θεωρίες των Ελλήνων και των Ινδών. Την εισήγαγε στις αρχές του 12ου αιώνα στην Ιταλία και την υιοθέτησαν προπομποί της Αναγέννησης όπως ο Ντα Βίντσι, αργότερα ζωγράφοι όπως ο Μοντριάν και πολύ μετά ο Σαλβαντόρ Νταλί, μουσικοσυνθέτες όπως ο Μότσαρτ, ο Μπέλα Μπάρτοκ και ο Ντεμπυσί αλλά και σπουδαίοι αρχιτέκτονες του 20ού αιώνα, όπως ο Λε Κορμπυζιέ. Την ίδια αυτή αναλογία ξαναβρήκαν οι επιστήμονες του Ναπολέοντα στην Αίγυπτο όταν μέτρησαν τις Πυραμίδες.

(470 KB)

Οχι μόνο η Μόνα Λίζα του Ντα Βίντσι αλλά και οι πλέον δημοφιλείς σήμερα σταρ του σινεμά διαθέτουν αναλογίες προσώπου συμβατές προς τον Χρυσό Κανόνα.

Τα τελευταία 150 χρόνια - από τότε που ανακίνησε το θέμα ο γερμανός ψυχολόγος Theodor Fechner - ο «χρυσός κανόνας» αποκαλύπτεται συνεχώς να υπάρχει παντού στη φύση ως η βέλτιστη επιλογή ανάπτυξης ή αναδίπλωσης. Από τα πέταλα των λουλουδιών ως τα φύλλα των δένδρων και από τις έλικες των κοχυλιών ως τα τμήματα του σώματος των μελισσών, όλα μοιάζουν να ακολουθούν τη χρυσή αναλογία. Την ίδια εκείνη αναλογία που βρίσκουμε μεταξύ των μελών καλοσχηματισμένων ανθρώπινων σωμάτων, των χαρακτηριστικών «κατά κοινή ομολογία» όμορφων προσώπων ή των - κατά τους οδοντιάτρους - τέλειων οδοντοστοιχιών... ακόμη και στη διατομή αυτού του DNA μας ή τις έλικες των γαλαξιών και τη στροφορμή μιας μαύρης τρύπας! Το αποκορύφωμα ήλθε πρόσφατα, όταν διαπιστώθηκε ότι και τα καλύτερα τεχνητά υλικά που κατασκεύασε ο άνθρωπος, οι νανοσωλήνες άνθρακα, έχουν δομή βασισμένη στα πλατωνικά πολύεδρα, που επίσης εμφανίζουν αυτή την αναλογία μεταξύ των τριγώνων που τα απαρτίζουν. Τέλος τέλος, μια καινοφανής μαθηματική θεωρία της περυσινής χρονιάς αποφάνθηκε ότι το Σύμπαν ολόκληρο είναι ένα πολύεδρο που θυμίζει μπάλα ποδοσφαίρου - που, φυσικά, υπόκειται στον «χρυσό κανόνα»...
Το όνομα «χρυσός κανόνας» της αναλογίας αυτής δόθηκε από τον λατίνο ποιητή Οράτιο (aurea mediocritas) και αργότερα από τον Κέπλερ. Οι καλλιτέχνες της Αναγέννησης όμως προτίμησαν τον όρο «Θεία Αναλογία» που έδωσε το 1509 ο φίλος του Ντα Βίντσι Λούκα Πάτσιολι θεωρώντας ότι μια τόσο τέλεια και θαυμαστή αρμονία θα πρέπει να δόθηκε στους ανθρώπους από τον ίδιο τον Θεό. Στην αναβάπτιση αυτή οφείλεται και η όλη παραφιλολογία που συνδέει τη ζωγραφική του Ντα Βίντσι και την αρχιτεκτονική των γοτθικών ναών με τις μυστικές γνώσεις των τεκτόνων, των αλχημιστών, των Ιπποτών του Ναού, της μυστικοπαθούς σχολής του Πυθαγόρα, των πρωτομαστόρων των Φαραώ... ως και των μηχανικών της Ατλαντίδας ή των παραστρατημένων αγγέλων του Εξαποδώ!
Σε μια εποχή που οι ιδεολογίες έχουν στερέψει και η επιστημονική φαντασία ξεπερνάται κάθε εξάμηνο από τις νέες ανακαλύψεις η συγγραφική πένα βυθίζεται στο μελάνι του αποκρυφισμού για να βρει σαγήνη του νου. Και, κατά πώς δείχνουν οι πωλήσεις, το καταφέρνει. Ο πλακωμένος από τα παγκοσμιοποιημένα προβλήματα αναγνώστης βρίσκει σε αυτές τις αναζητήσεις τα φτερά να δραπετεύσει «αλλού». Και το «αλλού» ήταν ανέκαθεν πιο σαγηνευτικό όταν πλησίαζε το άγνωστο και το υπέρτερο. Κανένας δεν θα ξετρελαινόταν με μια απλή εξήγηση, όπως ότι ο «χρυσός κανόνας» είναι ο μηχανισμός όπου κατέληξε η φύση με τις άπειρες δοκιμές της στα δισεκατομμύρια χρόνια που πέρασαν και ότι οι Ελληνες τον ανακάλυψαν όταν μετρούσαν τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος για να σμιλέψουν τα υπέροχα γλυπτά τους (πάντων μέτρον άνθρωπος). Ή ότι η μαθηματική μελέτη και διατύπωση του κανόνα απλώς ακολούθησε αυτή την πρακτική ανακάλυψη, όπως τόσες φορές που η επιστήμη ακολούθησε τα βήματα της τέχνης και της τεχνολογίας. Κανείς... εξόν αν είναι (στο πνεύμα) Ελληνας!

H «εΦτυχής» αναλογία

Αν θέλετε να φτιάξετε μια αισθητικά τέλεια αναλογία, κατά το πρότυπο του «χρυσού κανόνα», δεν έχετε παρά με μολύβι και χάρακα να χαράξετε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ και να προσπαθήσετε να βρείτε επάνω του εκείνο το σημείο B που το διαιρεί κατά τη σχέση ΒΓ/AB=ΑΒ/ΑΓ ή ΑΒ²=ΑΓ·ΒΓ. Ακόμη πιο άμεσα, μπορείτε να δείτε μια εφαρμογή του «χρυσού κανόνα» αν... βγάλετε μια πιστωτική κάρτα από το πορτοφόλι σας: το ύψος είναι περίπου 1,6 φορές το πλάτος, δηλαδή μια προσέγγιση του άρρητου αριθμού που παραδοσιακά ονομάζεται Φ - από το αρχικό μάλλον του Φειδία!
Μαθηματικά διατυπωμένος, ο αριθμός αυτός είναι:

Αριθμητικά ο αριθμός ισούται με τον λόγο των διαδοχικών ζευγών αριθμών όταν οι αριθμοί αυτοί προκύπτουν ο καθένας ως άθροισμα των δύο προηγουμένων του. Αυτή είναι η λεγόμενη ακολουθία του Φιμπονάτσι που μάθαμε στο σχολείο και διατάσσεται ως εξής: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181...
Αν κάνουμε τις διαιρέσεις που προείπαμε
3/2 = 1.500
5/3 = 1.666...
8/5 = 1.600
13/8 = 1.625
21/13 = 1.616...
φθάνοντας στον τεσσαρακοστό λόγο λαμβάνουμε τον Φ (1.6180339887...) με 15 δεκαδικά στοιχεία.
Ακόμη όμως και στρογγυλεμένος σε 1.618 ο Φ παραμένει ένας μοναδικά παράξενος αριθμός. Για παράδειγμα:

1 + Φ = Φ * Φ, δηλαδή 1 + 1.618 = 1.618 * 1.618 = 2.618.
Ένας εύχρηστος τύπος υπολογισμού: Φ=(1+√5)/2

Ή, όπως θα έλεγε ο Διογένης, «ένας + Φτώχεια = εΦτυχία». Οποία παραδοξότης!
Τάσος Καφαντάρης, ΤΟ ΒΗΜΑ, 03-04-2005
(ΤΟ ΒΗΜΑ SCIENCE - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)