Δευτέρα 23 Μαΐου 2022

Putnam Training Problem [4]

Έστω η συνάρτηση 
$f(χ) = χ^3 − 3χ + 1$ 
όπου χ πραγματικός αριθμός.
Να βρεθεί το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 
$f(f(χ)) = 0$.
Αναρτήθηκε από στις 23.5.22
Ετικέτες

2 σχόλια:

  1. Kostas Lazos26 Μαΐου 2022 στις 2:05 μ.μ.

    Παίρνουμε την παράγωγο της συνάρτησης
    f'(x)=3x^2-3
    που έχει ρίζες το -1 και το 1 που είναι και τοπικό μέγιστο και ελάχιστο αντίστοιχα με f(-1)=3 και f(1)=-1. Άρα παρατηρούμε ότι η f μηδενίζει για μια τιμή κάτω από -1, για μια τιμή ανάμεσα στο -1 και στο 1 και για μια τιμή πάνω από 1 αλλά κάτω από 2 γιατί f(2)=3. Άρα θέλουμε το f(x) να ισούται με μια τιμή κάτω από -1, με μια τιμή ανάμεσα στο -1 και στο 1 και με μια τιμή πάνω από 1. Δηλαδή οι επιλογές είναι f(x)<-1 , -11 αλλά f(x)<2 έτσι ώστε το f(f(x)) να μηδενίζει. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε μια μόνο λύση για την f(f(x)), στην δεύτερη και στην τρίτη περίπτωση έχουμε 3 λύσεις αντίστοιχα για την f(f(x)). Άρα συνολικά η εξίσωση f(f(x))=0 έχει 7 λύσεις

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Kostas Lazos26 Μαΐου 2022 στις 2:08 μ.μ.

    Επειδή γράφω από κινητό χάθηκε ένα κομμάτι και δεν το πρόσεξα! Εννοούσα οι επιλογές είναι η f να ισούται με έναν αριθμό κάτω από -1, η f να ισούται με έναν αριθμό μεταξύ -1 και 1 και τέλος η f να ισούται με έναν αριθμό μεταξύ 1 και 2.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)