Τετάρτη 15 Ιουνίου 2011

▪ Ανισότητες - 106η

Aν a, b και c θετικοί αριθμοί και a + b + c = 3, να αποδειχθεί ότι:
 \sqrt{a+\frac{1}{b}}+\sqrt{b+\frac{1}{c}}+\sqrt{c+\frac{1}{a}}\ge 6.
Αναρτήθηκε από στις 15.6.11
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. Στέλιος Πετρούπολη23 Αυγούστου 2011 στις 2:10 μ.μ.

    Η ανισότητα 106 είναι λάθος διατυπωμένη.Η σωστή είναι:για κάθε a,b,c,>0 ισχύει ότι:
    (a+1/b)^1/2+(b+1/c)^1/2+(c+1/a)^1/2>=3(2)^1/2.(1)
    Από ανισότητα Minkovski:
    Α μέλος (1)>=[(Σa^1/2)^2+(Σ1/α^1/2)^2]^1/2.(2)
    Από ανισότητα Andreescu:
    (Σ1/α^1/2)>=9/(Σa^1/2).Άρα (2)>={(Σa^1/2)^2+[9/(Σa^1/2)]^2}.(3) Θέτω Σa^1/2=x>0
    Άρα (3)=[χ^2+81/χ^2]^1/2.(4)
    Από AM-GM στην (4) παίρνω τη ζητούμενη.Το "ίσον" ισχύει για χ=3 ΚΑΙ a=b=c,άρα όταν a=b=c=1.

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)