Η ανισότητα 106 είναι λάθος διατυπωμένη.Η σωστή είναι:για κάθε a,b,c,>0 ισχύει ότι: (a+1/b)^1/2+(b+1/c)^1/2+(c+1/a)^1/2>=3(2)^1/2.(1) Από ανισότητα Minkovski: Α μέλος (1)>=[(Σa^1/2)^2+(Σ1/α^1/2)^2]^1/2.(2) Από ανισότητα Andreescu: (Σ1/α^1/2)>=9/(Σa^1/2).Άρα (2)>={(Σa^1/2)^2+[9/(Σa^1/2)]^2}.(3) Θέτω Σa^1/2=x>0 Άρα (3)=[χ^2+81/χ^2]^1/2.(4) Από AM-GM στην (4) παίρνω τη ζητούμενη.Το "ίσον" ισχύει για χ=3 ΚΑΙ a=b=c,άρα όταν a=b=c=1.
Aν a, b και c θετικοί αριθμοί και a + b + c = 3, να αποδειχθεί ότι:
.
Η ανισότητα 106 είναι λάθος διατυπωμένη.Η σωστή είναι:για κάθε a,b,c,>0 ισχύει ότι:
ΑπάντησηΔιαγραφή(a+1/b)^1/2+(b+1/c)^1/2+(c+1/a)^1/2>=3(2)^1/2.(1)
Από ανισότητα Minkovski:
Α μέλος (1)>=[(Σa^1/2)^2+(Σ1/α^1/2)^2]^1/2.(2)
Από ανισότητα Andreescu:
(Σ1/α^1/2)>=9/(Σa^1/2).Άρα (2)>={(Σa^1/2)^2+[9/(Σa^1/2)]^2}.(3) Θέτω Σa^1/2=x>0
Άρα (3)=[χ^2+81/χ^2]^1/2.(4)
Από AM-GM στην (4) παίρνω τη ζητούμενη.Το "ίσον" ισχύει για χ=3 ΚΑΙ a=b=c,άρα όταν a=b=c=1.