▪ Άπειροι πρώτοι

ΘΕΩΡΗΜΑ (του Ευκλείδη)
Υπάρχουν άπειροι θετικοί πρώτοι αριθμοί.
Απόδειξη
Έστω ότι υπάρχει πεπερασμένο πλή-θος πρώτων αριθμών p₁, p₂ ,... , p_ν. Θα αποδείξουμε ότι αυτό οδηγεί σε άτο-πο. Σχηματίζουμε τον αριθμό Α=p₁.p₂...p_ν+1. Ο αριθμός όμως αυ-τός, επειδή είναι μεγαλύτερος του 1, θα έχει έναν τουλάχιστον πρώτο διαιρέτη, έστω τον p_i με 1≤ i ≤ ν. Αλλά αν ο p_i διαιρεί τον Α, επειδή διαιρεί και τον p₁.p₂...p_ν , θα πρέπει να διαιρεί και τον 1. Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί p_i > 1. ■
Από το σχολικό βιβλίο Β Λυκείου "Μαθηματικά κατεύθυνσης"