▪ Τα μαθηματικά κάτω από μια άλλη ματιά

του Άρη Μαυρομμάτη, καθηγητή Μαθηματικών 

Αν ρωτήσεις κάποιον να σου πει τη γνώμη του για τα μαθηματικά, ασφαλώς θα πρέπει να είσαι ιδιαίτερα αισιόδοξος να πιστέψεις ότι θα πάρεις μια απάντηση που να αποπνέει ικανοποίηση. Οι περισσότερες απαντήσεις θα περιστρέφονται γύρω από τις δυσάρεστες ή ακόμα και τις τραυματικές εμπειρίες ορισμένων που τους προξένησε το πλήθος των ακατανόητων συμβόλων. Σε όλους αυτούς θα έμειναν (ή μένουν) αναπάντητα ερωτήματα, όπως γιατί να υπάρχουν αυτά τα σύμβολα, και γιατί θα πρέπει κάθε φορά να συνδέονται μεταξύ τους με διάφορες σχέσεις οι οποίες να οδηγούν ή όχι σε κάποιο αποτέλεσμα για το οποίο κανείς δεν γνωρίζει που αποσκοπεί. 

Αν τώρα αυτό συνδυασθεί και με τη διδακτική μέθοδο που ακολουθήθηκε (και συνεχίζει να ακολουθείται) για να τα «καταλάβουν», τότε το συναίσθημα της αντιπάθειας ίσως να είναι δικαιολογημένο. Έτσι γενιές μαθητών πέρασαν και συνεχίζουν να περνούν έχοντας πάντα ζωγραφισμένη στο μυαλό τους για τα μαθηματικά την ζοφερή εικόνα μιας φορμαλιστικής επιβολής. Είναι όμως αληθινή η εικόνα αυτή;
Είναι πράγματι τα Μαθηματικά ένα πλήθος συμβόλων που φαίνεται να αποτελεί τη γλώσσα ενός ανύπαρκτου κόσμου; 

Η απάντηση είναι όχι.Μια μονολεκτική όμως απάντηση χωρίς συζήτηση και πολύ περισσότερο τεκμηρίωση θα προσδιόριζε μια θέση δογματική, η οποία θα ήταν τελείως ασυμβίβαστη με το πνεύμα των μαθηματικών. Ένα πνεύμα που προσδιορίζεται από την αναζήτηση της αλήθειας, όχι με χαρακτήρα «αποκαλυπτικό», αλλά αποδεικτικό στηριγμένο σε αρχές και διαδικασίες επιστημονικές. Και πρώτα απ’ όλα ας αναφερθούμε στη λέξη σύμβολο. Καθημερινά ερχόμαστε αντιμέτωποι με δεκάδες αντικείμενα το κάθε ένα από τα οποία φέρει επάνω του κάτι το διακριτικό. Για παράδειγμα ένα συγκεκριμένο γράμμα ή λέξη ή αριθμό ή ακόμα και μια εικόνα που προσδιορίζουν το αντικείμενο ως προς τη χρηστικότητά του. Το πέρασμα από το ένα πεζοδρόμιο στο απέναντι γίνεται ασφαλέστερο όταν υπάρχουν φωτεινοί σηματοδότες. Το σφύριγμα του διαιτητή σ’ ένα ποδοσφαιρικό αγώνα σηματοδοτεί την προσωρινή παύση -διακοπή του παιχνιδιού. Παρατηρούμε ότι σε κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις μια εικόνα ,ένα φωτεινό ή ένα ηχητικό σήμα είναι αρκετά για να ενεργοποιήσουν (σχηματίσουν) στο μυαλό μας, την ιδέα ότι το συγκεκριμένο αντικείμενο μας είναι απαραίτητο ή όχι, ότι τώρα είναι η κατάλληλη στιγμή να διασχίσουμε τη διάβαση, ότι κάποιο γεγονός αντίθετο με τους κανόνες του παιχνιδιού συνέβη στον αγώνα και πρέπει αυτός απαραίτητα να διακοπεί. Όλοι αυτοί οι συνειρμοί των εννοιών είναι άϋλες μορφές που κατοικούν στο Νου μας. Για να μπορέσουμε όμως τις έννοιες και τους συνειρμούς να τους διαχειριστούμε θα πρέπει να αποκτήσουν μια υπόσταση που να γίνεται αντιληπτή από τις αισθήσεις μας. Δηλαδή να αντικειμενοποιηθούν. Αυτή την αντικειμενοποίηση τον άϋλων μορφών ονομάζουμε συμβολισμό και τα αντικείμενα που συμβολίζουν τις έννοιες σύμβολα. Έτσι για παράδειγμα το σήμα που βρίσκεται επάνω σε κάθε αυτοκίνητο και απεικονίζει τη σχεδιαστική ιδέα, την οργάνωση της παραγωγής και τελικά την ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αυτοκινητοβιομηχανίας είναι ένα σύμβολο. Το πράσινο ή το κόκκινο χρώμα του σηματοδότη που καθορίζει αν επιτρέπεται ή απαγορεύεται η διέλευση των πεζών από τη διάβαση είναι ένα σύμβολο. Το σφύριγμα του διαιτητή είναι ένα σύμβολο. Πολλά παραδείγματα θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε προκειμένου να δείξουμε την ύπαρξη των συμβόλων στην καθημερινότητα μας. Η υπόθεση των συμβόλων δεν είναι όμως κάτι που αφορά μόνο την καθημερινότητα. Η μετάβασή μας από μια πόλη σε μια άλλη απαιτεί πολλές φορές τη χρήση ενός οδικού χάρτη. Πως παριστάνονται- συμβολίζονται οι πόλεις επάνω στο χάρτη; Ασφαλώς ως σημεία. Πως παριστάνονται- συμβολίζονται οι δρόμοι επάνω στον ίδιο χάρτη;
 Ασφαλώς ως καμπύλες γραμμές που συνδέουν μεταξύ τους σημεία του χάρτη που όπως είπαμε συμβολίζουν τις πόλεις. Τι σύμβολο θα χρησιμοποιούσαμε αν μας ζητούσαν να συνδέσουμε δυο διαφορετικά σημεία επάνω σε μια επίπεδη επιφάνεια ακολουθώντας τον συντομότερο δρόμο; Ασφαλώς ένα ευθύγραμμο τμήμα. Τι σύμβολο θα χρησιμοποιούσαμε αν μας ζητούσαν να παραστήσουμε την επιφάνεια του τραπεζιού μας, την επιφάνεια ενός από τους τοίχους του σπιτιού μας, ή την επιφάνεια του δαπέδου της αυλής μας; Ασφαλώς ένα επίπεδο. Τι σύμβολο θα χρησιμοποιούσαμε αν μας ζητούσαν να γράψουμε το πλήθος των καθηγητών που διδάσκουν σ’ ένα σχολείο; Ασφαλώς ένα αριθμό. Γραμμές και αριθμοί. Σύμβολα που εκφράζουν έννοιες οι οποίες προήλθαν από αισθητικές αφαιρέσεις Για να ισορροπήσουμε όρθιοι επάνω σε ένα οριζόντιο επίπεδο θα πρέπει το σώμα μας να είναι κάθετο στο επίπεδο. Αναζητώντας ένα κριτήριο που να μας εξασφαλίζει αυτή την καθετότητα ανακαλύπτουμε ένα γνωστό σε όλους μας θεώρημα –το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι μια σχέση –μια συμβολική σχέση- τόσο γεωμετρική, όσο και αλγεβρική. Είναι μια Αλήθεια. Μια αντικειμενική αλήθεια. Μια απόλυτη αλήθεια. Μια αλήθεια που προέκυψε μέσω αποδεικτικής διαδικασίας και η οποία εκτός απόκριτήριο καθετότητας μπορεί κάλλιστα να λειτουργήσει και ως μετρική επάνω στο επίπεδο. Δηλαδή χρησιμοποιώντας την να υπολογίσουμε την απόσταση μεταξύ δυο σημείων σε ένα επίπεδο. Σύμβολα λοιπόν και συμβολικές σχέσεις. Δηλαδή αντικειμενοποιήσεις ιδεών καθώς επίσης και σχέσεων μεταξύ των ιδεών που προήλθαν από αφαιρέσεις και λειτουργούν σ’ ένα εννοιολογικό επίπεδο. Ίσως τώρα είναι κατάλληλη η στιγμή να πούμε τι είναι μαθηματικά. Μαθηματικά είναι αφαίρεση. Μαθηματικά είναι αυτός ο κόσμος των ιδεών που δημιούργησε η αφαίρεση και που μέσα σ’ αυτόν αναζητώνται οι νόμοι, δηλαδή οι Αλήθειες που θα ερμηνεύσουν αποδεικτικά και όχι αποκαλυπτικά τα μυστικά της φύσης. Μαθηματικά λοιπόν δεν είναι τα δυσνόητα σύμβολα. Είναι οι απόλυτες αλήθειες εκφρασμένες ως ιδέες. Ιδέες που γεννιούνται από εικόνες του νου και εκφράζουν τον χρόνο, τον χώρο, τους αριθμούς, τις σχέσεις.
Ποιος είναι όμως ο ρόλος των μαθηματικών στην εκπαίδευση; 
Θα πρέπει κατ’ αρχάς να σημειωθεί ότι ως ένα βαθμό τα μαθηματικά δεν απευθύνονται σε ξεχωριστά άτομα, αλλά σε όλους που θεωρούν ότι η κατάκτηση της γνώσης είναι βασική προϋπόθεση του ελεύθερου ανθρώπου. Η κατάκτηση της γνώσης δεν είναι όμως μια εύκολη υπόθεση. Αφορά και πρέπει να τους αφορά όλους. Γνώση δεν είναι η πληροφορία. Γνώση είναι η ικανότητα να μπορείς να επεξεργάζεσαι την πληροφορία και αξιολογώντας την να μπορείς να την κρίνεις. Κάτι τέτοιο όμως απαιτεί δυνατότητα του σκέπτεσθαι. Και η σκέψη δεν προκύπτει αφ’ εαυτής. Αποκτάται με την άσκηση του Νου. Να ένας λοιπόν από τους ρόλους των μαθηματικών.
Ποιο είναι όμως το κλίμα μέσα στο οποίο διδάσκονται τα μαθηματικά; 
Δυστυχώς το κλίμα μέσα στο οποίο διδάσκονται τα μαθηματικά είναι ένα κλίμα άκρατου φορμαλισμού στο οποίο αναπτύσσονται τεχνικές που πολλές φορές θυμίζουν ‘συνταγές μαγειρικής’. Συνταγές οι οποίες σε καθοδηγούν για το πώς πρέπει να λύσεις μια άσκηση ή μια ομάδα ασκήσεων, ανάγοντας έτσι τα μαθηματικά σε ένα οδηγό μαγειρικής με υλικά τα διάφορα σύμβολα και στόχο τα ‘καλά αποτελέσματα’ στις εξετάσεις.
Χωρίς υπερβολή τα μαθηματικά προσφέρονται για μια ‘καλή’ και για μια ‘κακή’ διδασκαλία. Η κακή διδασκαλία οφείλεται κυρίως στην αδυναμία να αναδειχθεί η γοητεία της μαθηματικής δημιουργίας.
Πως όμως θα προκύψει αυτή η γοητεία; 

Με ποιο τρόπο θα γοητευθεί από αυτά ο μαθητής, ο φοιτητής, ο οποιοσδήποτε τα διδάσκεται ή θα επιθυμούσε να τα προσεγγίσει και να ασχοληθεί σε τελευταία ανάλυση με αυτά;
Μόνο με τον τρόπο που αυτά θα συνδεθούν με τον πολιτισμό που μέσα στους αιώνες δημιούργησε ο άνθρωπος, τη φύση που τον περιβάλει, την τέχνη που τον εκφράζει, τα μέσα που καθημερινά χρησιμοποιεί. Μόνο όταν πίσω από τα σύμβολα αναδυθούν οι έννοιες. Μόνο όταν τον κάνουμε να αντιληφθεί το άλλο μέρος του δυϊκού εαυτού του. 

Εκείνου που τον οδηγεί στην ανάγκη να κατανοήσει.
Άρης Μαυρομμάτης
Καθηγητής Μαθηματικών
Δ/ντης Εστίας Γνώσης και Πολιτισμού Χαλκίδας