▪ Α Γυμνασίου - 1ο Κεφάλαιο - Παράγραφοι 11 - 15

Του μαθηματικού Νικολάου Δημούδη

Δυνάμεις αριθμών     

Ονομάζουμε νιοστή δύναμη του α (ή νιοστή δύναμη με βάση το α ), ένα γινόμενο από ν παράγοντες ίσους με τον α. Δηλαδή: α^ν = α^.α^.α^...α^.α^.α  (ν φορές).

Η Επιμεριστική Ιδιότητα

Αν έχουμε τους αριθμούς α, β, γ, αληθεύει η επιμεριστική ιδιότητα:

α^.(β+γ)=α^.β+α^.γ ή α^.β+α^.γ=α^. (β+γ)

και

α^. (β-γ)=α^.β-α^.γ ή α^.β-α^.γ=α^. (β-γ) 

Διαίρεση είναι η πράξη με την οποία  όταν δίνονται δυο αριθμοί, ο Δ (διαιρετέος) και ο δ (διαιρέτης) , βρίσκουμε έναν αριθμό π (πηλίκο), ο οποίος όταν πολλαπλασιαστεί με τον διαιρέτη δίνει γινόμενο το διαιρετέο.

Δηλαδή:

Δ:δ=π , όταν :  Δ=δ^.π.

·     Ο διαιρέτης δ ποτέ δεν μπορεί να είναι μηδέν.

·     Πρέπει να προσέχουμε τις διαιρέσεις:

α:α=1 γιατί α=α^.1

α:1=α γιατί α=1^.α

0:α=0 γιατί 0=α^.0

Η διαίρεση (Δ:δ=π) στην οποία οι Δ, δ, π, είναι φυσικοί αριθμοί ονομάζεται τέλεια διαίρεση.

Στην περίπτωση αυτή ο Δ είναι πολλαπλάσιο του δ (γιατί Δ=δ^.π), λέμε επίσης ότι ο δ είναι διαιρέτης του Δ. 

Ευκλείδεια διαίρεση λέγεται η διαδικασία κατά την οποία, όταν δίνονται δυο φυσικοί αριθμοί, ο Δ και ο δ, βρίσκονται δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί, ο π και ο υ ώστε να είναι: Δ = δπ + υ και υ < δ. 

Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού είναι οι φυσικοί αριθμοί που τον διαιρούν.

• Το 1 είναι διαιρέτης όλων των αριθμών
• Το 0 είναι πολλαπλάσιο όλων των αριθμών
• Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται μόνο με το εαυτό του και την μονάδα λέγεται πρώτος.
• Οι αριθμοί που δεν είναι πρώτοι λέγονται σύνθετοι.
• Αν δύο αριθμοί έχουν μέγιστο κοινό διαιρέτη την μονάδα λέγονται πρώτοι μεταξύ τους. 

Ένα φυσικός αριθμός διαιρείται με το:

• 2 αν το ψηφίο των μονάδων είναι: 0 ή 2 ή 4 ή 6 ή 8.
• 3 ή το 9 , αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9 αντίστοιχα.
• 5 αν τελειώνει σε 0 ή 5. 

Αριθμητική παράσταση, λέγεται μια σειρά αριθμών που συνδέονται με τα σύμβολα των πράξεων.

Τιμή της αριθμητικής παράστασης, λέγεται το αποτέλεσμα που βρίσκουμε όταν εκτελέσουμε τις πράξεις που είναι σημειωμένες στην αριθμητική παράσταση.

Προτεραιότητα των πράξεων.

Σε αριθμητικές παραστάσεις που δεν έχουν παρενθέσεις.

1. Πρώτα υπολογίζουμε τις δυνάμεις.
2. Εκτελούμε τους πολλαπλασιασμούς και τις διαιρέσεις με την σειρά που σημειώνονται.
3. Τέλος τις προσθέσεις και τις αφαιρέσεις με την σειρά που σημειώνονται.

Σε αριθμητικές παραστάσεις που έχουν παρενθέσεις.

Εκτελούμε πρώτα τις πράξεις μέσα στις παρενθέσεις και στη συνέχεια τις πράξεις στην αριθμητική παράσταση που προκύπτει όπως ανωτέρω. 

Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών. 

Ένας «μεγάλος αριθμός», Α, στην τυποποιημένη μορφή γράφεται σαν γινόμενο ενός αριθμού α (φυσικού ή δεκαδικού) που είναι μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10, επί μια δύναμη του 10.

Δηλαδή : Α= α^.10^ν, όπου α μεγαλύτερος ή ίσος του 1 και μικρότερος του 10.

Κάντε κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο, για να δείτε όλα τα πιο πάνω σε αρχείο doc, καθώς και τις ασκήσεις. 

Επανάληψη 1ου Κεφαλαίου σε μορφή doc.