1.Ένα σύνολο στο οποίο εξετάζουμε τα στοιχεία του ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά του λέγεται πληθυσμός.
2.Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές.
3.Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής
4.Διακρίνουμε τις μεταβλητές σε :
α) ποιοτικές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί και
β) ποσοτικές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται σε :
i) διακριτές που παίρνουν μόνο “μεμονωμένες” τιμές και
ii) συνεχείς που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών.
5.Ένας τρόπος για να πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό είναι να εξετάσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. Η μέθοδος αυτή συλλογής των δεδομένων ονομάζεται απογραφή.
6.Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και ανάλυση δεδομένων από πεπερασμένους πληθυσμούς (μικρή ομάδα ή υποσύνολο του πληθυσμού) είναι το αντικείμενο της δειγματοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής.
7.Δείγμα καλείται μια μικρή ομάδα ή ένα υποσύνολο του πληθυσμού.
8.Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων.
9.Ας υποθέσουμε ότι x1, x2, …, xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ £ ν. Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα νi, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.
10.Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi της τιμής xi.
11.Οι ποσότητες xi, νi, fi για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή πίνακας συχνοτήτων.
12.Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών (xi,νi) λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (xi,fi), ή των ζευγών (xi,fi%), την κατανομή σχετικών συχνοτήτων.
13.Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.
14.Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων.
15.Αν σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων ενώσουμε τα σημεία (xi,νi) ή (xi,fi) με ευθύγραμμα τμήματα έχουμε το πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.
16.Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.
17.Το χρονόγραμμα η χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους.
18.Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, οι τιμές του παριστάνονται με σημεία πάνω από τον οριζόντιο άξονα. Ο αριθμός των σημείων κάθε στήλης είναι ίσος με τη συχνότητα της αντίστοιχης τιμής.
19.Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.
20.Αν στο ιστόγραμμα (σχετικών) συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα,σχηματίζεται το πολύγωνο (σχετικών) συχνοτήτων.
21.Αν στο ιστόγραμμα αθροιστικών (σχετικών) συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται το πολύγωνο αθροιστικών (σχετικών) συχνοτήτων.
22.Εάν ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι μεγάλος και τείνει στο άπειρο τότε το πλάτος τείνει στο μηδέν και η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει μορφή ομαλής καμπύλης που ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων.
23.Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων είναι : α) Η κανονική. β) Η ομοιόμορφη. γ) Η ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία και δ) η ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία.
24.Τα μέτρα θέσης μας δίνουν τη θέση του “κέντρου” των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και τα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας μας δείχνουν πόσο οι παρατηρήσεις εκτείνονται γύρω από το “κέντρο” τους.
25.Τα μέτρα ασυμμετρίας καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = x0. Για δεδομένο σημείο xο στον οριζόντιο άξονα .
26.Τα πιο συνηθισμένα μέτρα θέσης ενός συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο άξονα Οx είναι:
α) Ο αριθμητικός μέσος ή η μέση τιμή:
27.Η μέση τιμή δεν είναι απαραίτητο να είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής.
Αν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο η διάμεσος δεν είναι απαραίτητο να είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής. Αν το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό η διάμεσος είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής.
28.Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας είναι:
α) Το εύρος ή κύμανση (R) : Είναι η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη.
β) Η διακύμανση ή διασπορά:
γ) Η τυπική απόκλιση
δ) Ο συντελεστής μεταβλητότητας ή συντελεστής μεταβολής:
29.Αν η καμπύλη συχνοτήτων είναι κανονική ή περίπου κανονική τότε:
Το 68% περίπου των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (x
- s, x+s),
Το 95% περίπου στο (x-2s, x+2s), το 99,7% περίπου στο (x-3s, x+3s) και το εύρος R ισούται περίπου με 6s.
30.Το μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας.
31.Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές αν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.
32.Θα λέμε ότι το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Β, όταν CVΑ< CVΒ.
2.Τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό λέγονται μεταβλητές.
3.Οι δυνατές τιμές που μπορεί να πάρει μια μεταβλητή λέγονται τιμές της μεταβλητής
4.Διακρίνουμε τις μεταβλητές σε :
α) ποιοτικές των οποίων οι τιμές δεν είναι αριθμοί και
β) ποσοτικές των οποίων οι τιμές είναι αριθμοί και διακρίνονται σε :
i) διακριτές που παίρνουν μόνο “μεμονωμένες” τιμές και
ii) συνεχείς που μπορούν να πάρουν οποιαδήποτε τιμή ενός διαστήματος πραγματικών αριθμών.
5.Ένας τρόπος για να πάρουμε τις απαραίτητες πληροφορίες που χρειαζόμαστε για κάποιο πληθυσμό είναι να εξετάσουμε όλα τα άτομα του πληθυσμού ως προς το χαρακτηριστικό που μας ενδιαφέρει. Η μέθοδος αυτή συλλογής των δεδομένων ονομάζεται απογραφή.
6.Οι αρχές και οι μέθοδοι για τη συλλογή και ανάλυση δεδομένων από πεπερασμένους πληθυσμούς (μικρή ομάδα ή υποσύνολο του πληθυσμού) είναι το αντικείμενο της δειγματοληψίας που αποτελεί τη βάση της Στατιστικής.
7.Δείγμα καλείται μια μικρή ομάδα ή ένα υποσύνολο του πληθυσμού.
8.Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων, ώστε να είναι εύκολη η κατανόησή τους και η εξαγωγή σωστών συμπερασμάτων.
9.Ας υποθέσουμε ότι x1, x2, …, xκ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, κ £ ν. Στην τιμή xi αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα νi, δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή xi της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων.
10.Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα νi με το μέγεθος ν του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα fi της τιμής xi.
11.Οι ποσότητες xi, νi, fi για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή πίνακας συχνοτήτων.
12.Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών (xi,νi) λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών (xi,fi), ή των ζευγών (xi,fi%), την κατανομή σχετικών συχνοτήτων.
13.Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες νi και fi χρησιμοποιούνται συνήθως και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες Νi και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες Fi οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής xi.
14.Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση των τιμών μιας ποιοτικής μεταβλητής. Στην περίπτωση που έχουμε μια ποσοτική μεταβλητή χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχνοτήτων.
15.Αν σε ένα διάγραμμα συχνοτήτων ή σχετικών συχνοτήτων ενώσουμε τα σημεία (xi,νi) ή (xi,fi) με ευθύγραμμα τμήματα έχουμε το πολύγωνο συχνοτήτων ή πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων.
16.Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τόσο των ποιοτικών όσο και των ποσοτικών δεδομένων, όταν οι διαφορετικές τιμές της μεταβλητής είναι σχετικά λίγες.
17.Το χρονόγραμμα η χρονολογικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική απεικόνιση της διαχρονικής εξέλιξης ενός οικονομικού, δημογραφικού ή άλλου μεγέθους.
18.Το σημειόγραμμα χρησιμοποιείται όταν έχουμε λίγες παρατηρήσεις, οι τιμές του παριστάνονται με σημεία πάνω από τον οριζόντιο άξονα. Ο αριθμός των σημείων κάθε στήλης είναι ίσος με τη συχνότητα της αντίστοιχης τιμής.
19.Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων με ομαδοποιημένα δεδομένα γίνεται με το ιστόγραμμα Στον οριζόντιο άξονα ενός συστήματος ορθογωνίων αξόνων σημειώνουμε, με κατάλληλη κλίμακα, τα όρια των κλάσεων. Στη συνέχεια κατασκευάζουμε διαδοχικά ορθογώνια καθένα από τα οποία έχει βάση ίση με το πλάτος της κλάσης και ύψος τέτοιο, ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου να ισούται με τη συχνότητα της κλάσης αυτής.
20.Αν στο ιστόγραμμα (σχετικών) συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα μέσα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα,σχηματίζεται το πολύγωνο (σχετικών) συχνοτήτων.
21.Αν στο ιστόγραμμα αθροιστικών (σχετικών) συχνοτήτων θεωρήσουμε δύο ακόμη υποθετικές κλάσεις, στην αρχή και στο τέλος με συχνότητα μηδέν και στη συνέχεια ενώσουμε τα δεξιά άκρα των άνω βάσεων των ορθογωνίων με ευθύγραμμα τμήματα, σχηματίζεται το πολύγωνο αθροιστικών (σχετικών) συχνοτήτων.
22.Εάν ο αριθμός των κλάσεων για μια συνεχή μεταβλητή είναι μεγάλος και τείνει στο άπειρο τότε το πλάτος τείνει στο μηδέν και η πολυγωνική γραμμή συχνοτήτων τείνει να πάρει μορφή ομαλής καμπύλης που ονομάζεται καμπύλη συχνοτήτων.
23.Μερικές χαρακτηριστικές καμπύλες συχνοτήτων είναι : α) Η κανονική. β) Η ομοιόμορφη. γ) Η ασύμμετρη με θετική ασυμμετρία και δ) η ασύμμετρη με αρνητική ασυμμετρία.
24.Τα μέτρα θέσης μας δίνουν τη θέση του “κέντρου” των παρατηρήσεων στον οριζόντιο άξονα και τα μέτρα διασποράς ή μέτρα μεταβλητότητας μας δείχνουν πόσο οι παρατηρήσεις εκτείνονται γύρω από το “κέντρο” τους.
25.Τα μέτρα ασυμμετρίας καθορίζουν τη μορφή της κατανομής. Κατά πόσο δηλαδή η αντίστοιχη καμπύλη συχνοτήτων είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x = x0. Για δεδομένο σημείο xο στον οριζόντιο άξονα .
26.Τα πιο συνηθισμένα μέτρα θέσης ενός συνόλου δεδομένων πάνω στον οριζόντιο άξονα Οx είναι:
α) Ο αριθμητικός μέσος ή η μέση τιμή:
ή
β) Ο σταθμικός μέσος:
γ) Η διάμεσος (δ) : Ένα δείγμα ν παρατηρήσεων το τοποθετούμε σε αύξουσα σειρά, αν το ν είναι περιττός η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, αν το ν είναι άρτιος η διάμεσος είναι το ημιάθροισμα των δύο μεσαίων παρατηρήσεων.
δ) Η κορυφή ή η επικρατούσα τιμή (Μ0
) : Στην περίπτωση μη ομαδοποιημένων παρατηρήσεων είναι η παρατήρηση με τη μεγαλύτερη συχνότητα.27.Η μέση τιμή δεν είναι απαραίτητο να είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής.
Αν το μέγεθος του δείγματος είναι άρτιο η διάμεσος δεν είναι απαραίτητο να είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής. Αν το μέγεθος του δείγματος είναι περιττό η διάμεσος είναι μια από τις τιμές της μεταβλητής.
28.Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς ή μεταβλητότητας είναι:
α) Το εύρος ή κύμανση (R) : Είναι η διαφορά της μικρότερης παρατήρησης από τη μεγαλύτερη.
β) Η διακύμανση ή διασπορά:
- s, x+s),Το 95% περίπου στο (x
-2s, x+2s), το 99,7% περίπου στο (x-3s, x+3s) και το εύρος R ισούται περίπου με 6s. 30.Το μέτρο το οποίο μας βοηθά στη σύγκριση ομάδων τιμών, που είτε εκφράζονται σε διαφορετικές μονάδες μέτρησης είτε εκφράζονται στην ίδια μονάδα μέτρησης, αλλά έχουν σημαντικά διαφορετικές μέσες τιμές, είναι ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας.
31.Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές αν ο συντελεστής μεταβολής δεν ξεπερνά το 10%.
32.Θα λέμε ότι το δείγμα Α έχει μεγαλύτερη ομοιογένεια από το δείγμα Β, όταν CVΑ< CVΒ.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου