Τρίτη 26 Απριλίου 2011

▪ Διαγωνισμός επιλογής Εθνικής ομάδας Μαθηματικών 2011 (junior)

Τα θέματα του διαγωνισμού επιλογής της Εθνικής ομάδας Μαθηματικών junior (κάτω των 15,5 ετών) του 2011. 
ΘΕΜΑ 1ο
α) Έστω n θετικός ακέραιος. Να αποδείξετε ότι:
                   \displaystyle n\sqrt {x-n^2}\leq \frac {x}{2} ,για κάθε x\geq n^2.
β) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z που ικανοποιούν την εξίσωση:
                 \displaystyle 2\sqrt {x-1} +4\sqrt {y-4} + 6\sqrt {z-9} = x+y+z
ΘΕΜΑ 2ο 
Πάνω σε καθεμία πλευρά τετραγώνου ΑΒΓΔ θεωρούμε 3 σημεία διαφορετικά μεταξύ τους.
(α) Να προσδιορίσετε τον αριθμό των ευθυγράμμων τμημάτων που ορίζονται με άκρα τα σημεία αυτά και δεν βρίσκονται πάνω στις πλευρές του τετραγώνου.
(β) Αν δεν υπάρχουν τρία σημεία από τα προηγούμενα ευθύγραμμα τμήματα που να περνάνε απο το ίδιο σημείο, να βρείτε πόσα σημεια τομής των τμημάτων αυτών υπάρχουν μέσα στο τετράγωνο.
ΘΕΜΑ 3ο
Να προσδιορίσετε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης:

                          8x^3-4=y(6x-y^2).
ΘΕΜΑ 4ο
Δίνεται οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC με AB<AC , εγγεγραμμένο σε κύκλο C(O,R) .Ο κύκλος C_1(A,AB) τέμνει την πλευρά BC στο σημείο E και τον κύκλο C στο σημείο F. H EF τέμνει για δεύτερη φορά τον κύκλο C στο σημείο D και την πλευρά AC στο σημείο M.Η AD τέμνει την BC στο σημείο K. Τέλος , ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου BKD τέμνει την AB στο σημείο L. Να αποδείξετε ότι τα σημεία K,L,M βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία παράλληλη στην BF.
Αναρτήθηκε από στις 26.4.11
Ετικέτες ,

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)