"Απόδειξη"
Έχουμε:Σ = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....... (1)
Προφανώς το άθροισμα Σ είναι θετικός αριθμός. Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της (1) με το 2 και παίρνουμε:
2Σ = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....... (2)
Από την (1) έχουμε:
Σ - 1 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ....... (3)
Οπότε από (2) και (3) έχουμε:
2Σ = Σ - 1
άρα Σ = - 1. Δηλαδή το άθροισμα Σ είναι αρνητικός αριθμός!
Πως έγινε αυτό? Που βρίσκεται το λάθος?
Σωκράτη καλησπέρα!
ΑπάντησηΔιαγραφήΠολύ καλό θέμα που θα το προτείνω σίγουρα και στο δικό μου blog, με υπογραφή φυσικά δική σου!!
Προφανώς η σχέση (2) και (3) (δεν την έχεις ονομάσει αλλά είναι η Σ - 1) δεν έχουν ίσα δεύτερα μέλη όπως πονηρά θεώρησε η άσκηση, αφού η δεύτερη σχέση έχει φύγει ένας άσσος...
Αυτό φαίνεται πιο εύκολα αν την εξετάσουμε για λιγότερους όρους.
Μάκη, το διόρθωσα. Ευχαριστώ..
ΑπάντησηΔιαγραφήκ. Ρωμανίδη, σέβομαι απόλυτα την επιθυμία σου να ελέγχεις τα σχόλια που δημοσιεύεις στο blog σου και σε καμιά περίπτωση δεν επιθυμώ να το μετατρέψω σε χώρο συζητήσεων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαρόλα αυτά, υπό το πνεύμα των προσωκρατικών ήδη φιλοσόφων, παρακαλώ να μου επιτραπεί να διαφωνίσω με τον κ. Χατζόπουλο όσον αφορά τα δεύτερα μέλη των σχέσεων 2 και3. Δεν είναι απλά ίσα, ταυτίζονται.
όσο για τη συνέχεια, αφού το άθροισμα Σ είναι άπειρο, τότε και το 2Σ όπως και το Σ-1 και πολλά άλλα είναι άπειρα και επομένως μπορούν να είναι ίσα μεταξύ τους χωρίς να υπακούουν στις γνωστές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών που εφαρμόζουμε σε μια ισότητα. Αυτή είναι άλλωστε η γοητεία του άπειρου.
ευχαριστώ για τη φιλοξενία
Δημήτρης
Δημήτρη, δεν είναι ότι δεν το επιθυμώ, απλά δυσκολεύομαι προς το παρόν να έχω συνεχή έλεγχο των σχολίων. Το βάρος το δίνω στις αναρτήσεις. Υπάρχουν κάποια σχέδια, τα οποία αν ευοδωθούν, θα αναπτυχθούν και οι συζητήσεις επί των αναρτήσεων.
ΑπάντησηΔιαγραφήΚι εγώ σε ευχαριστώ.