▪ Αριθμοί Fibonacci και Πυθαγόρεια τρίγωνα

Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε όλες τις πλευρές του ακεραίους αριθµούς. Π.χ το ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετες πλευρές 3 και 4 και υποτείνουσα 5. Παίρνοντας πολλαπλάσια αυτών των αριθµών βρίσκουµε και άλλες τριάδες ακεραίων που να µας δίνουν Πυθαγόρεια τρίγωνα, όπως π.χ. (6, 8, 10), (9, 12, 15) και γενικά (3k, 4k, 5k), όπου k ακέραιος θετικός αριθµός. Υπάρχουν όµως και άλλες πρωτότυπες τριάδες που δεν είναι πολλαπλάσια του Πυθαγόρειου τριγώνου (3, 4, 5), όπως π.χ. οι τριάδες (5, 12, 13), (7, 24, 25) και (20, 21, 29). Οποιοδήποτε Πυθαγόρειο τρίγωνο είναι είτε «πρωτότυπο» ή πολλαπλάσιο ενός πρωτότυπου. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη µαθηµατική ταυτότητα:
 (α²+β²)² – 4α² β²=(α²-β²)²  ή  (α²+β²)² = (α²-β²)²+(2αβ )²

για να κατασκευάσουµε ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο. Προς το σκοπό ξεκινάµε από δυο τυχαίους ακεραίους αριθμούς α και β µε α>β και υπολογίζουµε σαν α²-β² τη µία κάθετη πλευρά του, σαν 2αβ την άλλη κάθετη πλευρά του και σαν α² +β² την υποτείνουσά του.

Π.χ. για α=4, β=2 παίρνουµε τη τριάδα (12,16,20), που είναι πολλαπλάσια της βασικής τριάδας (3 ,4, 5). Για α=5 και β=3 παίρνουµε τη τριάδα (16, 30, 34), που είναι πολλαπλάσια της πρωτότυπης τριάδας (8, 15, 17) κ.λ.π. Με αυτό το τρόπο µπορούν να παραχθούν όλα τα Πυθαγόρεια τρίγωνα χρησιµοποιώντας κατάλληλες αρχικές τιµές των α και β. Μπορούµε να δηµιουργήσουµε Πυθαγόρεια τρίγωνα και αν χρησιµοποιήσουµε 4 διαδοχικούς αριθµούς Fibonacci. Έστω για παράδειγµα οι τέσσερες αριθµούς Fibonacci: 1, 2, 3, 5. Βρίσκουµε το διπλάσιο γινόµενο των δυο µεσαίων αριθµών (εδώ του 2 και του 3, που δίνει 2x2x3=12. Αυτή είναι η µία κάθετη πλευρά του Πυθαγόρειου Τρίγωνου, πολλαπλασιάζουµε τους δυο ακραίους αριθµούς (εδώ το 1 και το 5, που δίνει 5). Αυτή είναι η δεύτερη κάθετη πλευρά του Πυθαγόρειου τριγώνου. Η υποτείνουσα βρίσκεται προσθέτοντας τα τετράγωνα των δυο µεσαίων αριθµών (εδώ 22=4 και 32=9 και το άθροισµά τους: 4+9=13). Αυτή είναι η τρίτη πλευρά (υποτείνουσα) του Πυθαγορείου τριγώνου. Έχουµε δηµιουργήσει έτσι το Πυθαγόρειο τρίγωνο 5, 12, 13.

Από το βιβλίο "Ιερή Γεωμετρία" του Δ. Ευαγγελόπουλου