▪ 4 Ολυμπιακά πολυώνυμα (I)

1. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα ${\rm P}$ που ικανοποιούν την ισότητα: 

$P(x^2+1)=P^2(x)+1$

για κάθε $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα ${\rm P}$ που ικανοποιούν την ισότητα: 

$P^2(x)-2=2P(2x^2-1)$

για κάθε $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3. Αν κάθε ένα από τα πολυώνυμα ${\rm P}$ και $Q$ έχει πραγματική ρίζα και ισχύει:

$P(1+x+Q^2(x))=Q(1+x+P^2(x)$

να αποδείξετε ότι ${\rm P}(x)=Q(x)$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4. (ΙΜΟ 2004 - Πρόβλημα 2) Nα βρεθούν όλα τα πολυώνυμα ${\rm P}(x)$ με πραγματικούς συντελεστές, που ικανοποιούν την ισότητα

$P(\alpha -\beta )+P(\beta -\gamma )+P(\gamma -\alpha )=2P(\alpha +\beta +\gamma )$

και $\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =0$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com