▪ 4 Ολυμπιακά πολυώνυμα (I)

1. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $Ρ$ που ικανοποιούν την ισότητα: 

$P(x^2+1)=P^{2}(x)+1$

για κάθε $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

2. Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $Ρ$ που ικανοποιούν την ισότητα: 

$P^{2}(x)-2=2P(2x^2-1)$

για κάθε $x$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3. Αν κάθε ένα από τα πολυώνυμα $Ρ$ και $Q$ έχει πραγματική ρίζα και ισχύει:

$P(1+x+Q^{2}(x))=Q(1+x+P^{2}(x)$

να αποδείξετε ότι $Ρ(x) = Q(x)$.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

4. (ΙΜΟ 2004 - Πρόβλημα 2) Nα βρεθούν όλα τα πολυώνυμα $Ρ(x)$ με πραγματικούς συντελεστές, που ικανοποιούν την ισότητα

$P(α-β)+P(β-γ)+P(γ-α)=2P(α+β+γ)$

και $αβ + βγ + γα = 0$.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com