▪ Θέματα Διαγωνισμού επιλογής Κύπρου Β' Φάση 2011

Πρόβλημα 1ο
Να λυθεί το σύστημα: 
Πρόβλημα 2ο
Να βρείτε όλες τις θετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης: , αν ισχύουν τα παρακάτω:
α) το  ειναι πρώτος
β) το  δεν είναι πολλαπλάσιο του 3 και γ) το  δε διαιρεί τον .
Πρόβλημα 3ο
Δίνεται κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του ΑΓ και ΒΔ. Έστω  τα κέντρα βάρους των τριγώνων ΑΟΒ και ΓΟΔ αντίστοιχα και  τα ορθόκεντρα των τριγώνων ΑΟΔ και ΒΟΓ αντίστοιχα. Αν Λ,Μ,Ν,Ρ τα μέσα των τμημάτων  αντίστοιχα να αποδείξετε ότι ΛΝ=ΜΡ.
Πρόβλημα 4ο
Έστω Σ ένα σύνολο από ν (ν>3) διαφορετικά σημεία του επιπέδου, εφοδιασμένο με τις ιδιότητες:
(α) η απόσταση μεταξύ δύο οποιωνδήποτε σημείων του Σ δεν είναι μεγαλύτερη από 1.
(β) για κάθε σημείο Α του Σ υπάρχουν ακριβώς δύο σημεία Α',Α'' του Σ τέτοια ώστε ΑΑ'=ΑΑ''=1. Τα σημεία Α',Α'' θα τα λέμε "συγγενικά του Α"
(γ) για οποιαδήποτε δύο σημεία Α, Β του Σ, αν Α',Α'' είναι "συγγενικά του Α" και Β',Β'' είναι "συγγενικα του Β", τότε .
Να αποδείξετε ότι τέτοιο σύνολο Σ υπάρχει αν το ν είναι περριτός, ενώ δεν υπάρχει αν το ν είναι άρτιος.
Για τις λύσεις των θεμάτων κάντε κλικ εδώ .