Το παράδοξο αυτό είναι ένα τυχερό παιχνίδι που όρισε ο N. Bernulli και αργότερα ο D. Bernulli δημοσίευσε στο Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg και για αυτό ονομάστηκε το παράδοξο της Αγίας Πετρούπολης (St.Petersburg paradox).Στο τυχερό αυτό παιχνίδι μπαίνει ένας παίκτης δίνοντας ένα ποσό Α (για κάθε φορά που συμμετέχει). Το παιχνίδι αρχίζει με τη ρίψη του νομίσματος και συνεχίζει ας πούμε μέχρι να έρθει «γράμματα». Το παιχνίδι ξεκινάει με ένα ευρώ (πριν την πρώτη ρίψη του νομίσματος) και το ποσό διπλασιάζεται πριν την κάθε νέα ρίψη του
νομίσματος. Ο παίχτης κερδίζει το ποσό που αθροίστηκε ως τη λήξη του παιχνιδιού. Έτσι αν το παιχνίδι τερματίσει στην n επανάληψη (στην n ρίψη το νόμισμα είναι στη θέση «γράμματα») ο παίχτης κερδίζει 2n-1 ευρώ, όπως φαίνεται στον παρακάτω πίνακα.
Ανάλυση του παραδόξου της Αγίας Πετρούπολης στις πιθανές καταστάσεις τερματισμού.
Η πιθανότητα να τερματίσει το παιχνίδι στη n-στη ρίψη του νομίσματος είναι 1/2n. Η πιθανότητα να προχωρήσει το παιχνίδι σε κάποια μεγάλη επανάληψη (και να έχει ο παίχτης μεγάλα κέρδη) μειώνεται με νόμο δύναμης αλλά παραμένει μη-μηδενική για οσοδήποτε μεγάλη επανάληψη. Από την άλλη το αναμενόμενο κέρδος για οποιαδήποτε επανάληψη που σημάνει λήξη του παιχνιδιού είναι πάντα 1/2, όπως δίνεται στην τελευταία στήλη του Πίνακα. Το συνολικό αναμενόμενο κέρδος που αντιστοιχεί στη μέση τιμή του κέρδους είναι άπειρο, 1/2+1/2+… ! που προϋποθέτει βέβαια ότι ο διοργανωτής του παιχνιδιού έχει να διαθέσει το άπειρο ποσό. Το παράδοξο του παιχνιδιού είναι πως ο διοργανωτής του παιχνιδιού και ο παίχτης δε θα συμφωνούσαν γιατί:
• Ο διοργανωτής θα ζητούσε το ποσό συμμετοχής Α του παίχτη να είναι τουλάχιστον στο μέσο κέρδος (και κάτι παραπάνω για να έχει ο ίδιο κέρδος!), δηλαδή «άπειρα ευρώ».
• Ο παίχτης δε θα συμφωνούσε για ένα ποσό Α πολύ μεγάλο (που έστω να αγγίζει τα «άπειρα ευρώ») γιατί υποθέτει δε θα είναι τόσο τυχερός να κερδίσει μεγάλα ποσά αφού αυτά εμφανίζονται σπάνια.
γιατι ονομαστηκε παραδοξο?
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαλημέρα, διάβασα τυχαία ένα άρθρο στα αγγλικά(wikipedia) για αυτό το παράδοξο. Και επειδή έτυχε να είμαι δάσκαλος μαθηματικών ο ίδιος και να διαβάζω python στον ελεύθερο χρόνο μου, ;έφτιαξα ένα πρόγραμμα με στόχο να τρέξει το παιχνίδι εκατομμύρια φορές (με διάφορες παραλλαγές όπως x παίκτες, παίζουν y παιχνίδια και πληρώνουν z entry fee- έκανα sampling) και να πείσω το κομμάτι της διαίσθησης μου, που μου έλεγε ότι θα υπάρχει κάποιο ποσό που μπορεί να βρεθεί ώστε να ξεκινήσει το παιχνίδι και να είναι περίπου δίκαιο(αναμενόμενο κέρδος 0) παρόλο που διάβασα και κατανόησα ακριβώς όσα διάβασα και εδώ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΈνα τέτοιο στοίχημα πάει αντίθετα με την κοινή διαίσθηση, Έχοντας τρέξει τόσες πολλές φορές τον αλγόριθμο πλέον έχω χωνέψει πλήρως το αποτέλεσμα. Αν ο παίκτης μπει με πεπερασμένο ποσό για άπειρα παιχνίδια κερδίζει, αν τα παιχνίδια δεν είναι άπειρα υπάρχει μια κάποια διαφοροποίηση.
ps: αργότερα πείραξα λίγο και το ζάρι ώστε να μην είναι 50 50 και τότε τα πράγματα συγκλίνουν απότομα.
ps2 : ευχαριστώ για το άρθρο και σας παραπέμπω στη wikipedia , ο bernoulli προσέγγισε το θέμα ελαφρά διαφορετικά και έβαλε την παράμετρο της τσέπης του παίκτη.
ps3 : Υπάρχει παρακάτω στο ίδιο άρθρο και αναφορά στην banka με ορισμένο ποσό και εκεί μπορεί κανείς να πάρει μια πιο γεμάτη απάντηση για το πως μπορεί να παίξει εναντίον της.
Έστω και για πλάκα!