Τρίτη 15 Φεβρουαρίου 2011

▪ Να βρεθεί ο αριθμός

Να βρεθεί ο μικρότερος αριθμός, του οποίου αν το δεξιότερο ψηφίο το τοποθετήσουμε στο αριστερό άκρο του, ο νέος αριθμός που σχηματίζεται θα είναι κατά 50% μεγαλύτερος από τον αρχικό αριθμό.
Αναρτήθηκε από στις 15.2.11
Ετικέτες

1 σχόλιο:

  1. Unknown29 Δεκεμβρίου 2012 στις 8:15 μ.μ.

    Ας ονομάσουμε Α τον ζητούμενο αριθμό, ο οποίος πρέπει να είναι τουλάχιστον διψήφιος.
    Αυτός θα αποτελείται από δύο τμήματα. Το ένα το ψηφίο των μονάδων ας το ονομάσουμε α και το άλλο με τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμού και ας το ονομάσουμε x. Έτσι ο αριθμός γράφεται:
    Α=10*x+α
    Εάν τοποθετήσουμε το ψηφίο α αριστερά θα προκύψει ο αριθμός, ας τον ονομάσουμε Β και θα γράφεται:
    Β= α*10^ν + x, όπου ν είναι το πλήθος των ψηφίων του x .
    Επειδή θέλουμε «…ο νέος αριθμός που σχηματίζεται θα είναι κατά 50% μεγαλύτερος από τον αρχικό αριθμό» ισχύει η ισότητα:
    Β=150/100*Α ή
    2*Β=3*Α ή
    2*α*10^ν+2*x = 30 *x +3*α ή
    28*x = α*(2*10^ν-3) ή
    2*2*7* x = α*(2*10^ν-3)
    Ο αριθμός όμως (2*10^ν-3) είναι περιττός , επομένως ο α οφείλει να διαιρείται με το 4
    και ως εκ τούτου οι μόνες τιμές που μπορεί να λάβει είναι α=4 ή α=8, και ο 7*x είναι :
    7*x = 2*10^ν - 3 ή 7*x = 2*(2*10^ν-3)

    Διερεύνηση της πρώτης εξίσωσης 7*x = 2*10^ν - 3 (για α=4)
    Επειδή το α΄μέλος είναι πολ/σιο του 7, συμπεραίνουμε ότι : ο αριθμός 2*10^ν-3 πρέπει να είναι πολ/σιο του 7 δηλ.
    2*10^ν-3 = 0mod7.
    Για ν=1 έχουμε 17=3mod7 (απορ)
    για ν=2 έχουμε 197=1mod7(απορ)
    για ν=3 έχουμε 1997=2mod7(απορ)
    για ν=4 έχουμε 19997=5mod7(απορ)
    για ν=5 έχουμε 199997=0mod7 (δεκτή)
    Για μεγαλύτερες τιμές του ν θα προκύψει, προφανώς, μεγαλύτερος αριθμός και εμείς επιθυμούμε τον ελάχιστο.
    Άρα 7* x = 199997 ή x = 199997/7=28571
    και Α=28571*10+4 ή Α=285714 οπότε Β=428571

    Επαλήθευση Α*150/100=(2/3)*285714=428571=Β

    Διερεύνηση της δεύτερης εξίσωσης 7*x = 4*10^ν - 6 (για α=8)
    Για ν=1 έχουμε 36=1mod7 (απορ)
    για ν=2 έχουμε 396=2mod7(απορ)
    για ν=3 έχουμε 3996=4mod7(απορ)
    για ν=4 έχουμε 39996=3mod7(απορ)
    για ν=5 έχουμε 39996=0mod7 (δεκτή)
    Για μεγαλύτερες τιμές του ν θα προκύψει, προφανώς, μεγαλύτερος αριθμός και εμείς επιθυμούμε τον ελάχιστο.
    Άρα 7* x = 39996 ή x = 39996/7=57142
    και Α=57142*10+8 ή Α=571428 οπότε Β=857142
    Επαλήθευση Α*150/100=(2/3)* 571428=857142=Β
    Η λύση αυτή Α=571428 πρέπει να απορριφθεί γιατί η προηγουμένη Α=285714 είναι η ελάχιστη.
    Η απάντηση λοιπόν στον γρίφο είναι ο αριθμός Α=285714

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)