▪ Γεωμετρικοί τόποι (Ι)

Οι θεμελιώδεις γεωμετρικοί τόποι στο επίπεδο είναι:

1. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τα άκρα ενός ευθύγραμμου τμήματος, είναι η μεσοκάθετος του.

2. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από τις πλευρές μιας γωνίας και βρίσκονται μέσα σ’ αυτήν, είναι η διχοτόμος της γωνίας.

3. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο τεμνόμενες ευθείες, είναι οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών που αυτές σχηματίζουν.

4. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δύο παράλληλες ευθείες, είναι η μεσοπαράλληλή τους.

5. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση ίση με λ (όπου λ δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα) από σταθερή ευθεία (ε), είναι δύο ευθείες παράλληλες προς την (ε) και σε απόσταση λ από αυτήν.

6. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από δοσμένο σταθερό σημείο, είναι περιφέρεια (κύκλος) με κέντρο το σημείο και ακτίνα ίση με την απόσταση αυτή.

7. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό ορθή γωνία, είναι περιφέρεια με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα.

8. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου από τα οποία δοσμένο ευθύγραμμο τμήμα φαίνεται υπό δοσμένη γωνία (διάφορη της ορθής), είναι δύο τόξα συμμετρικά ως προς αυτό, που έχουν κοινή χορδή το ευθύγραμμο τμήμα και δέχονται γωνία ίση με τη δοσμένη.

9. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία Α και Β έχουν λόγο (όπου μ και ν δύο άνισα σταθερά ευθύγραμμα τμήματα), είναι περιφέρεια με διάμετρο το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα τα συζυγή αρμονικά των Α και Β με λόγο. Αυτή η περιφέρεια ονομάζεται «απολλώνεια», προς τιμή του μεγάλου γεωμέτρη της αρχαιότητας Απολλώνιου του Περγαίου (2ος αιώνας π.Χ.).

10. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από μία σταθερή ευθεία και από ένα σταθερό σημείο εκτός αυτής, είναι παραβολή με διευθετούσα την ευθεία και εστία το σημείο.

11. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων οι αποστάσεις από δύο σταθερά σημεία του επιπέδου έχουν σταθερό άθροισμα, είναι έλλειψη με εστίες τα δύο σημεία.

12. Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου για τα οποία ισχύει η πρόταση: «η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία του επιπέδου είναι σταθερή», είναι υπερβολή με εστίες τα σημεία αυτά.