▪ 9 Ασκήσεις Γεωμετρίας από Μαθηματικές Ολυμπιάδες

Έστω O το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC και K το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου AOC . Αν οι ευθείες AB και BC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου AOC  ξανά στα σημεία M και N αντιστοίχως και L είναι το συμμετρικό του σημείου Κ ως προς την ευθεία MN, να αποδείξετε ότι BL κάθετη στην AC.

26^th Russian Mathematical Olympiad 2000

Έστω τρίγωνο ABC και D σημείο της πλευράς BC τέτοιο ώστε DC = 2BD. Αν η γωνία Β είναι 45⁰ και η γωνία ADC είναι 60⁰, να βρείτε τις άλλες δύο γωνίες του τριγώνου ABC. 

 21^st Yogoslav Federal Mathematical Competition 1980

Έστω τα τρίγωνα ABC και PQR με τις ακόλουθες ιδιότητες:

α) τα σημεία Α και Ρ είναι τα μέσα των QR και BC αντιστοίχως

β) QR και BC είναι διχοτόμοι των γωνιών BAC  και QPR αντιστοίχως. Να αποδείξετε ότι ΑΒ + AC = PQ + PR.

11^th Japanese Mathematical Olympiad 1992 

Έστω ισοσκελές τρίγωνο ABC (AB= AC) και O τυχόν σημείο της ευθείας BC τέτοιο ώστε ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα OA να μην εφάπτεται στις ευθείες AB και AC . Αν οι ευθείες AB, AC τέμνουν τον κύκλο ξανά στα σημεία M, N αντιστοίχως. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του  ορθόκεντρου του τριγώνου  AMN.

40^th  Vietnam Mathematical Olympiad 2002

Αν τα μήκη της εσωτερικής και εξωτερικής γωνίας C τριγώνου ABC είναι ίσα, τότε να αποδείξετε ότι  AC² + BC² = 4R², όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου ABC. 

 3th Bulgarian Mathematical Olympiad 1981 3^rd Round

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC. Το ύψος από την κορυφή Β τέμνει τον κύκλο διαμέτρου AC στα σημεία Ρ, Q και το ύψος από την κορυφή C τέμνει τον κύκλο διαμέτρου AB στα σημεία Μ, Ν. Να αποδείξετε ότι τα σημεία Μ, Ν, Ρ και Q  είναι ομοκυκλικά.    

 41^th Czech – Slovak Mathematical Olympiad 1992

Έστω κυρτό τετράπλευρο ABCD τέτοιο ώστε AC κάθετη στην BD.
α) Να αποδείξετε ότι AB² + CD² = BC² + DA²
β) Έστω κυρτό τετράπλευρο PQRS τέτοιο ώστε PQ = AB , QR = BC ,RS = CD και SP = DA, να αποδείξετε ότι PR κάθετη στην QS.
Netherlands Mathematical Olympiad 1998

Έστω κύκλος C και K ένα εξωτερικό του σημείο .Από το K φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα KL και KN και στην προέκταση της ευθείας ΚΝ παίρνουμε ένα σημείο Μ. Αν Ρ είναι το σημείο τομής του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου KLM με τον κύκλο C και Q η προβολή του σημείου Ν πάνω στην ευθεία ML , να αποδείξετε ότι η γωνία MPQ είναι διπλάσια της KML.              

Iranian Mathematical Olympiad 1998

Έστω Α και Β δύο σημεία ενός κύκλου και Μ το μέσο ενός από τα τόξα ΑΒ . Αν C είναι η προβολή του σημείου Β επί της εφαπτομένης (ε) του κύκλου στο σημείο Α και η εφαπτομένη στο σημείο Μ του κύκλου  τέμνει τα τμήματα AC και ΒC στα σημεία Α΄ και Β΄ αντιστοίχως , να αποδείξετε ότι αν 

τότε (ABC) <2(A΄B΄C΄). 

1^st Taiwanese Mathematical Olympiad 1992