Οι πρώτοι αριθμοί, ή απλώς πρώτοι, είναι οι αριθμοί:
(Α) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...
οι οποίοι δεν μπορούν να αναλυθούν σε γινόμενο μικρότερων παραγόντων. Έτσι, ο 37 και ο 317 είναι πρώτοι. Οι πρώτοι διαιρούνται από την μονάδα και τον εαυτό τους . Είναι το υλικό από το οποίο κτίζονται όλοι οι αριθμοί μέσω πολλαπλασιασμού. Κάθε αριθμός που δεν είναι ο ίδιος πρώτος, διαιρείται τουλάχιστον από έναν πρώτο (βεβαίως, συνήθως διαιρείται από διαφόρους). Πρέπει να αποδείξουμε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι, δηλαδή ότι η ακολουθία (Α) δεν τελειώνει ποτέ.
Ας υποθέσουμε ότι τελειώνει, και ότι 2, 3, 5,... P είναι η πλήρης ακολουθία (ώστε ο P να είναι ο μεγαλύτερος πρώτος).
Με αυτή την υπόθεση, ας θεωρήσουμε τον αριθμό Q που ορίζεται από τον τύπο:
Q = (2 · 3 · 5 ... · P) + 1.
Είναι ξεκάθαρο ότι ο Q δεν διαιρείται με κανέναν από τους 2, 3, 5,... P αφού αφήνει υπόλοιπο 1. Αλλά αν ο ίδιος ο Q δεν είναι πρώτος, διαιρείται από κάποιον πρώτο, και επομένως υπάρχει κάποιος πρώτος (ο οποίος μπορεί να είναι ο ίδιος ο Q) μεγαλύτερος από οποιονδήποτε απ' αυτούς. Αυτό αντιφάσκει με την υπόθεση μας ότι δεν υπάρχει πρώτος μεγαλύτερος από τον P, και άρα η υπόθεση μας είναι εσφαλμένη.
Η απόδειξη έγινε με εις άτοπον απαγωγή, και η εις άτοπον απαγωγή που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού." Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπί.
Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμη και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο το παιγνίδι.
Από το βιβλίο :
 | ||
|
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου