▪ 4 Ασκήσεις Γεωμετρίας για Ολυμπιάδες

1. Έστω τρίγωνο ABC και Α₁ , Β₁ και C₁ τα σημεία τομής των διχοτόμων των γωνιών Α , B και C αντιστοίχως του τριγώνου με τον περιγεγραμμένο κύκλο του . Να αποδείξετε ότι :

ΑΑ₁ + ΒΒ₁ + CC₁ > AB + BC + CA.

Australian Mathematical Olympiad  1982

2. Έστω κυρτό πεντάγωνο ABCDE τέτοιο ώστε

                     (ΑΒC) = (BCD) = (CDE) = (DEA) = (EAB) = 1 

Να αποδείξετε ότι :

α) όλα τα παραπάνω πεντάγωνα με την πιο πάνω ιδιότητα έχουν το ίδιο εμβαδόν και να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτό .

β) υπάρχουν άπειρα άνισα πεντάγωνα με την πιο πάνω ιδιότητα.

                                            1^st USA Mathematical Olympiad 1972   

3. Έστω εγγράψιμο τετράπλευρο Α₁Α₂Α₃Α₄ και τα ορθόκεντρα Η₁ , Η₂ , Η₃ και Η₄  των τριγώνων Α₂Α₃Α₄ ,Α₃Α₄Α₁ ,Α₄Α₁Α₂ και Α₁Α₂Α₃ αντιστοίχως .

Να αποδείξετε ότι τα τετράπλευρα Α₁Α₂Α₃Α₄ και Η₁Η₂Η₃Η₄ είναι ίσα .

            1^st Balkan Mathematical Olympiad 1984

4. Αν οι διχοτόμοι των γωνιών τριγώνου ABC τέμνουν τον περιγεγραμμένο κύκλο στα σημεία  A', B' και C' , να αποδείξετε ότι:

                                             (A'B'C') ≥ (ABC).

                       29^th  International Mathematical Olympiad  1988 shortlist