▪ Από το χάος στην τάξη

Το τρίγωνο του Sierpinski είναι ένα fractal που ανακαλύφτηκε από τον Wacław Sierpiński το 1915 .

Ένα ισόπλευρο τρίγωνο (Σχ.1) το υποδιαιρούμε σε τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.2) και αφαιρούμε το μεσαίο λευκό τρίγωνο .         

Σχήμα 1                                     Σχήμα 2

 Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το ίδιο σε κάθε ένα από τα τρία ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 9 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.3) .  

Εφαρμόζουμε το ίδιο στα 9 ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 27 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.4) .

Σχήμα 3                       Σχήμα 4

 Εφαρμόζουμε το ίδιο στα 27 ισόπλευρα τρίγωνα που έχουμε και προκύπτουν 81 μικρότερα ισόπλευρα τρίγωνα (Σχ.5) . 

Σχήμα 5  

Παρατηρούμε ότι όσο επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία κάθε τρίγωνο που δημιουργείται είναι ακριβώς το ίδιο σύνολο Sierpinski και άρα είναι το ίδιο με το όλον. Η ιδιότητα της αυτο – ομοιότητας σε όλο της το μεγαλείο .Εύκολα μπορεί κάποιος να οδηγηθεί στο συμπέρασμα ότι αυτό το πράγματι εντυπωσιακό fractal είναι αποτέλεσμα της μεγάλης τάξης και οργάνωσης  που είχαμε καθ΄ όλη τη διάρκεια της κατασκευής του . Λάθος συμπέρασμα .

Για να δούμε το παρακάτω παιχνίδι , το οποίο ονομάζεται παιχνίδι του χάους .

Σε ένα χαρτί κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒC , όπως στο παρακάτω σχήμα .

 Έστω Σ ένα τυχαίο σημείο του χαρτιού .

Ορίζουμε το σημείο Σ₁ ως εξής :

Ρίχνουμε ένα ζάρι και αν

 • φέρουμε άσσο (1) ή δύο (2) , τότε ως σημείο Σ₁ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος ΣΑ . 

 • φέρουμε τρία (3) ή τέσσερα (4) , τότε ως σημείο Σ₁ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος ΣΒ . 

 • φέρουμε πέντε (5) ή έξι (6) , τότε ως σημείο Σ₁ ορίζουμε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος ΣΓ . 

Στη συνέχεια ξαναρίχνουμε το ζάρι και ορίζουμε το σημείο Σ₂ , ως εξής :

 • φέρουμε άσσο (1) ή δύο (2) , τότε ως σημείο Σ₂ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Α . 

 • φέρουμε τρία (3) ή τέσσερα (4) , τότε ως σημείο Σ₂ορίζουμε το μέσο του ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Β . 

 • φέρουμε πέντε (5) ή έξι (6) , τότε ως σημείο Σ₂ ορίζουμε το μέσο του  ευθυγράμμου τμήματος Σ₁Γ . 

Συνεχίζουμε έτσι τη διαδικασία και έτσι ορίζουμε διαδοχικά τα σημεία

Σ ,Σ₁ ,Σ₂ ,Σ₃ ,Σ₄ ,…,Σ_n , …..

Στη κατασκευή του τριγώνου Sierpinski είχαμε την απόλυτη τάξη εδώ λόγω του ζαριού το απόλυτο τυχαίο .

Τι μπορεί να περιμένει κανείς για τη θέση αυτών των σημείων ;

Για να δούμε .

Μετά από 30 ρίψεις του ζαριού σημειώθηκαν τα εξής σημεία Σ₁ ,Σ₂, …, Σ₃₀ :                       

Δεν παρατηρούμε κάτι ιδιαίτερο , όσον αφορά το πώς είναι κατανεμημένα τα σημεία στο χαρτί .

Μετά από 100 ρίψεις του ζαριού σημειώθηκαν τα εξής σημεία Σ₁ ,Σ₂, …, Σ₁₀₀ : 

Μετά από 400 ρίψεις του ζαριού αρχίζει να διαφαίνεται μια κανονικότητα των σημείων Σ₁,…,Σ₃₀,…,Σ₁₀₀,…,Σ₄₀₀ :

Και μετά από 30000 ρίψεις του ζαριού καταγράφεται από τα σημεία Σ₁,…,Σ₃₀,…,Σ₁₀₀,…,Σ₄₀₀,…,Σ₃₀₀₀₀ απόλυτα καθαρά , όχι ένα τυχαίο σύνολο  σημείων όπως θα περίμενε κανείς , αλλά το fractal του Sierpinski ! 

Από το χάος στην τάξη !!