Τετάρτη, 20 Μαρτίου 2019

Μαθηματική Ολυμπιάδα Μόσχας 2019 (9η τάξη)

Πρόβλημα 1 
Ο βασιλιάς κάλεσε δυο ιππότες και τους ανέθεσε μια αποστολή: ο πρώτος σκέφτεται διαφορετικούς μη μηδενικούς φυσικούς αριθμούς με άθροισμα 100, κρυφά τους ανακοινώνει στον βασιλιά, αλλά στον δεύτερο ιππότη ανακοινώνει μόνο τον τέταρτο κατά μέγεθος εξ αυτών των αριθμών, ύστερα από το οποίο ο δεύτερος πρέπει να μαντέψει τους αριθμούς.
Οι ιππότες δεν έχουν την δυνατότητα να συνεννοηθούν μεταξύ τους. Μπορούν άραγε οι ιππότες εγγυημένα να φέρουν εις πέρας την αποστολή;

Πρόβλημα 2 
Να βρείτε τον ελάχιστο φυσικό αριθμό , για τον οποίο ο διαιρείται με τον .

Πρόβλημα 3
Σε οξυγώνιο τρίγωνο φέρουμε τα ύψη και . Έστω το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου . Να αποδείξετε, ότι η απόσταση του σημείου από την ευθεία είναι ίση με την απόσταση του σημείου από την ευθεία .

Πρόβλημα 4
Κάθε ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τις κορυφές ενός κανονικού γώνου χρωματίστηκε με κόκκινο χρώμα, αν μεταξύ των άκρων του υπάρχουν άρτιο πλήθος κορυφών και μπλε σε αντίθετη περίπτωση (ως ειδική περίπτωση, όλες οι πλευρές του γώνου είναι κόκκινες). Στις κορυφές τοποθετήθηκαν αριθμοί το άθροισμα των τετραγώνων των οποίων είναι ίσο με και στα τμήματα το γινόμενο των αριθμών των άκρων. Ύστερα από το άθροισμα των αριθμών των κόκκινων τμημάτων αφαιρέθηκε το άθροισμα των αριθμών των μπλε τμημάτων. Ποιος είναι ο μεγαλύτερος δυνατός αριθμός που μπορεί να προκύψει;

Πρόβλημα 5
Η διχοτόμος της γωνίας τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου στα σημεία και . Το σημείο είναι το μέσο του τμήματος . Στο τόξο του κύκλου δίνεται σημείο τέτοιο, ώστε . Οι ευθείες και τέμνουν την ευθεία στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε, ότι .

Πρόβλημα 6
Υπάρχουν σωροί των βότσαλων ο καθένας. Με μία κίνηση ο Πέτρος διαλέγει δυο σωρούς, αφαιρεί από αυτούς από ένα βότσαλο και λαμβάνει για αυτό τόσους βαθμούς, όση είναι τώρα η απόλυτη τιμή της διαφοράς του αριθμού των βότσαλων σε αυτούς τους σωρούς. Ο Πέτρος πρέπει να αφαιρέσει όλα τα βότσαλα. Ποιος είναι ο μέγιστος συνολικός αριθμός βαθμών που μπορεί να αποκτήσει με αυτό το τρόπο;
Πηγή

2 σχόλια:

  1. Πρόβλημα 4

    Αν α1, α2,...,α100 είναι οι αριθμοί στις κορυφές, με α1^2+α2^2+..+α100^1=1 και Α ο αριθμός που θέλουμε να μεγιστοποιήσουμε, τότε ισχύει:
    (α1-α2+α3-α4+...+α99-α100)^2 ≥ 0 =>
    α1^2+α2^2+..+α100^2 ≥ 2Α =>
    1 ≥ 2Α => Α ≤ 1/2
    Επομένως maxA = 1/2 και επιτυγχάνεται για α1=α2=..=α100=1/10

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Πρόβλημα 1
    Οι τρεις μικρότεροι αριθμοί δεν μπορούν να έχουν άθροισμα μικρότερο του 6 (1+2+3). Επομένως οι 4 μεγαλύτεροι αθροίζουν το πολύ 94. Αρα, ο τεταρτος μικρότερος δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος του 22 (διοτι 23+24+25+26=98>94)
    Επομένως αν επιλεγεί ως τεταρτος ο 22, τοτε υποχρεωτικά οι τρείς μεγαλύτεροι είναι οι 23,24,25, με συνολικό άθροισμα των τεσσάρων 94, και οι τρελις μικροτεροι είναι οι 1,2,3.
    Αρα η αποστολή μπορεί να έρθει επιτυχώς εις πέρας

    ΑπάντησηΔιαγραφή