Παγκύπριος Διαγωνισμός Μαθηματικών Λυκείου (2016) - Α΄ Λυκείου

Πρόβλημα 1 

(α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:

(β) Να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση:

 

Πρόβλημα 2 

Αν ο είναι θετικός ακέραιος με , να αποδείξετε ότι το κλάσμα 

 

είναι ακέραιος αριθμός.

Πρόβλημα 3 

Αν

  ,

 να αποδείξετε ότι η τιμή της παράστασης

 

είναι .

Πρόβλημα 4

Δίνεται οξυγώνιο τρίγωνο . Από τις κορυφές φέρουμε κάθετες προς τις απέναντι πλευρές του τριγώνου και έστω τα ίχνη των καθέτων πάνω στις πλευρές , αντίστοιχα. Ονομάζουμε το σημείο τομής των υψών του τριγώνου.

(α) Αν τα μέσα των ευθύγραμμων τμημάτων , αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο είναι ορθογώνιο.

(β) Φέρουμε την εφαπτομένη του κύκλου που διέρχεται από τις κορυφές του ορθογωνίου στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η είναι παράλληλη με την ευθεία .

Πηγή