Τρίτη, 8 Νοεμβρίου 2016

Η άσκηση της ημέρας (8 - 11 - 2016)


  Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις και για τις
  οποίες ισχύουν:
  • για κάθε .
  • Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο .
  • και είναι δύο διαδοχικές ρίζες της .
  Να αποδείξετε ότι:
  α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .

  β) για κάθε .

  γ)

1 σχόλιο:

  1. α) Επειδή η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και δεν μηδενίζεται θα διατηρεί πρόσημο και μάλιστα θα είναι $f(x) < 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ επειδή $f(2) = - 1$.
    β) Και η συνάρτηση $g$ όμως ως συνεχής και μη μηδενιζόμενη στο διάστημα $( - 1,5)$ θα διατηρεί πρόσημο σ αυτό , αφού δε $g(2) = - 1 < 0$ θα είναι $g(x) < 0$ για κάθε $x \in ( - 1,5)$.
    γ) Επειδή $f(3) < 0\,\,$και $g(2) = - 1 < 0$ θα είναι , $\dfrac{{f(3)}}{{g(2)}} > 0$ , οπότε $\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } \dfrac{{f(3) \cdot {x^4} + 2{x^2} + 1}}{{g(2) \cdot {x^3} + 5}} = \dfrac{{f(3)}}{{g(2)}}\mathop {\lim }\limits_{x \to \, - \infty } x = - \infty $

    Νίκος Φραγκάκης

    ΑπάντησηΔιαγραφή