Σάββατο, 2 Ιουλίου 2016

Μaximin και minimax

Σε ένα φύλλο χαρτί χύθηκε μελάνι. Μετρήσαμε, για κάθε σημείο της κηλίδας, τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη απόσταση του σημείου από το σύνορο της κηλίδας.
'Εστω $r$ η μέγιστη από τις μικρότερες αποστάσεις και $R$ η ελάχιστη από τις μεγαλύτερες. Ποια είναι η μορφή της κηλίδας, αν $r = R$; 

1 σχόλιο:

  1. Ομολογώ ότι το θέμα της ανάρτησης είναι ένα από τα ωραιότερα που έχω συναντήσει (στο Quantum, αν θυμάμαι καλά), αν και η επιλογή των γραμμάτων r και R προϊδεάζει ήδη για τη μορφή της κηλίδας. Θα προσπαθήσω τουλάχιστον να δώσω την απόδειξη, για να το σιγουρέψουμε αν μη τι άλλο:-).
    Έστω Α το σημείο της κηλίδας που έχει τη μέγιστη r από τις μικρότερες αποστάσεις. Αν με κέντρο το Α και ακτίνα r γράψω έναν κύκλο, ο κύκλος αυτός θα περιέχεται εξ ολοκλήρου στην κηλίδα, διότι αν υπήρχε σημείο του συνόρου της στο εσωτερικό του κύκλου, τότε η μικρότερη απόσταση του Α από το σύνορο θα ήταν μικρότερη από r.
    Αντιστοίχως, αν Β είναι το σημείο της κηλίδας που έχει την ελάχιστη R από τις μεγαλύτερες αποστάσεις, γράφοντας με κέντρο το Β και ακτίνα R έναν κύκλο, ο κύκλος αυτός θα περιέχει εξ ολοκλήρου την κηλίδα, διότι αν υπήρχε σημείο του συνόρου της στο εξωτερικό του κύκλου, τότε η μεγαλύτερη απόσταση του Β από το σύνορο θα ήταν μεγαλύτερη από R.
    Έτσι, ο κύκλος (Α,r) περιέχεται εξ ολοκλήρου στην κηλίδα, η οποία με τη σειρά της περιέχεται εξ ολοκλήρου στον κύκλο (Β,R), άρα ο κύκλος (Α,r) περιέχεται εξ ολοκλήρου στον κύκλο (Β,R). Για να συμβεί όμως αυτό, δεδομένου ότι r=R, θα πρέπει οι δύο κύκλοι να έχουν το ίδιο κέντρο και να ταυτίζονται σε έναν, ο οποίος ταυτίζεται με την κηλίδα. Άρα η κηλίδα μπορεί να έχει κυκλική και μόνο μορφή ακτίνας r=R.

    ΑπάντησηΔιαγραφή