Τρίτη, 12 Απριλίου 2016

Κόκκινο ή μαύρο

To εμβαδόν της κόκκινης ή της μαύρης επιφάνειας είναι μεγαλύτερο;
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Λύση (Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 2ο Γ.Ε.Λ. Ιεράπετρας)

Αρκεί να συγκρίνουμε τα μισά των ζητούμενων επιφανειών. Ας είναι $r = 1$ η ακτίνα των μικρών κύκλων, άρα του μεγάλου είναι $R = 2$.
Ο κυκλικός τομέας  $O.AM$ έχει εμβαδόν:
$\boxed{{{\rm E}_1} = \frac{1}{8}\pi  \cdot {2^2} = \frac{\pi }{2}}$ 
και αν αφαιρέσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $BAO$ θα μείνει:
$\boxed{T = \frac{\pi }{2} - 1\,\,}\,\,(1)$
Το εμβαδόν αυτό, $T$ εκφράζει στο σχήμα, λόγω συμμετρίας,  τη μαύρη και τη κόκκινη επιφάνεια μαζί. Η μαύρη επιφάνεια( κυκλικό τμήμα  $90^\circ $ του μικρού κύκλου) είναι:
$\boxed{\frac{1}{4}\pi  \cdot {1^2} - \vartriangle (KAB) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - 1) = \frac{T}{2}}$  
και άρα τα αρχικά εμβαδά της εκφώνησης είναι ίσα.

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου