Κόκκινο ή μαύρο

To εμβαδόν της κόκκινης ή της μαύρης επιφάνειας είναι μεγαλύτερο;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Λύση (Νίκος Φραγκάκης (Doloros) - 2^ο Γ.Ε.Λ. Ιεράπετρας)

Αρκεί να συγκρίνουμε τα μισά των ζητούμενων επιφανειών. Ας είναι $r = 1$ η ακτίνα των μικρών κύκλων, άρα του μεγάλου είναι $R = 2$.

Ο κυκλικός τομέας  $O.AM$ έχει εμβαδόν:

$\boxed{{{\rm E}_1} = \frac{1}{8}\pi  \cdot {2^2} = \frac{\pi }{2}}$ 

και αν αφαιρέσουμε το εμβαδόν του ορθογωνίου τριγώνου $BAO$ θα μείνει:

$\boxed{T = \frac{\pi }{2} - 1\,\,}\,\,(1)$. 

Το εμβαδόν αυτό, $T$ εκφράζει στο σχήμα, λόγω συμμετρίας,  τη μαύρη και τη κόκκινη επιφάνεια μαζί. Η μαύρη επιφάνεια( κυκλικό τμήμα  $90^\circ $ του μικρού κύκλου) είναι:

$\boxed{\frac{1}{4}\pi  \cdot {1^2} - \vartriangle (KAB) = \frac{\pi }{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(\frac{\pi }{2} - 1) = \frac{T}{2}}$  

και άρα τα αρχικά εμβαδά της εκφώνησης είναι ίσα.