Τετάρτη, 7 Ιανουαρίου 2015

Λεκέδες από μελάνι

Οι λύσεις της εξίσωσης 3ου βαθμού: 
είναι επίσης λύσεις της εξίσωσης 4ου βαθμού: 
α) παρά τους λεκέδες από μελάνι, να βρεθούν οι λύσεις της εξίσωσης 3ου βαθμού γνωρίζοντας ότι είναι ακέραιοι αριθμοί   
β) στη συνέχεια να βρεθεί η τέταρτη λύση της εξίσωσης 4ου βαθμού.
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

3 σχόλια:

  1. Καλημέρα, καλή χρονιά σε όλον τον κόσμο!
    Έστω χ1, χ2, χ3 οι λύσεις της τριτοβάθμιας και ψ1, ψ2, ψ3, ψ4 οι λύσεις της τεταρτοβάθμιας, όπου χ1=ψ1, χ2=ψ2, χ3=ψ3.
    Από τους τύπους Vieta έχουμε:
    χ1+χ2+χ3=-5
    ψ1+ψ2+ψ3+ψ4=-11
    ψ1ψ2+ψ1ψ3+ψ1ψ4+ψ2ψ3+ψ2ψ4+ψ3ψ4=-4
    Από τις παραπάνω ισότητες, με αντικαταστάσεις, εύκολα προκύπτουν τα εξής:
    ψ4=-6 (η ζητούμενη τέταρτη λύση της τεταρτοβάθμιας) και
    χ1χ2+χ1χ3+χ2χ3=-34
    Επομένως:
    (χ1+χ2+χ3)^2 = 25 ==> χ1^2+χ2^2+χ3^2+2(χ1χ2+χ1χ3+χ2χ3) = 25 ==> χ1^2+χ2^2+χ3^2 = 93
    Από την τελευταία σχέση, δεδομένου ότι οι λύσεις είναι ακέραιες, εύκολα υπολογίζουμε: χ1=ψ1=-8, χ2=ψ2=-2 και χ3=ψ3=5

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Θανάση, εξαιρετική προσέγγιση σε ένα απαιτητικό πρόβλημα!

      Διαγραφή
    2. Γιώργη, ευχαριστώ πολύ! Σου εύχομαι ιδιαιτέρως καλή χρονιά, με υγεία και πολλές εμπνευσμένες αναρτήσεις, όπως μας έχεις συνηθίσει!

      Διαγραφή