Παρασκευή, 28 Νοεμβρίου 2014

Ανοιχτό κουτί

Κόβουμε το κομμάτι χαρτόνι (όπως φαίνεται παρακάτω), για να κατασκευάσουμε ένα ανοιχτό κουτί που να έχει τον μεγαλύτερο δυνατό όγκο. Ποια θα πρέπει να είναι τιμή για το $x$ για να συμβεί αυτό;

8 σχόλια:

  1. f <- function(x){
    x*(7-2*x)*(5-2*x)
    }

    optim(par=1, fn=f, method = "L-BFGS-B", control = list(fnscale = -1))

    Αποτελέσματα:
    x: 0.9591672
    volume: 15.02055

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. $(7-2x)(5-2x)x=4x^3-24x^2+35x =$
    $(4x^3-24x^2+35x)'=0 \Rightarrow$
    $x=2-\dfrac{ \sqrt{\dfrac{13}{3} }}{2} =0.9591670002669...cm$

    $V=\left(7-2 \times \left(2-\dfrac{\sqrt{\dfrac{13}{3} }}{2}\right)\right) \times $ $\left(5-2 \times \left(2-\dfrac{\sqrt{\dfrac{13}{3} }}{2}\right)\right) \times$ $\left(2-\dfrac{\sqrt{\dfrac{13}{3} }}{2}\right) \Rightarrow$
    $V=6+\dfrac{13 \sqrt{\dfrac{13}{3} }}{3}=15.02055266...cm^3$

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Στην πρώτη γραμμή το τελευταίο $=$ μπήκε εκ παραδρομής
      Το σωστό είναι:$(7-2x)(5-2x)x=$$4x^3-24x^2+35x$

      Διαγραφή
  3. Ας δώσω και μια αναλυτική γεωμετραλγεβρική λύση στο ενδιαφέρον αυτό πρόβλημα (η οποία επιβεβαιώνει το κομπιουτερίστικο ακαταλαβίστικο του φίλου Η.W.h.D :-) )
    Το εμβαδόν έστω Ε του ανοιχτού κουτιού είναι:
    $E = (7 * 5) - 4x^{2} = 35 - 4x^{2}$
    To E μεγιστοποιείται προφανώς για x = 0

    Όγκος V :
    $V = (7-2x)(5-2x)x = 4x^{3}-24x^{2}+35x$
    αρα εύρος για το x: 0 < x < 2.5
    Διαφορίζοντας το V(0) έχουμε:
    $12x^{2}-48x+35=0$
    h ep;ilish αυτής της δευτεροβάθμιας δίνει:
    x=2-ρίζα (39/6)=0,959167...

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Ακαταλαβίστικο είναι να κάνει κανείς βελτιστοποίηση με χαρτί και μολύβι, όταν γι αυτό το λόγο έχουν φτιαχτεί οι μηχανές. Εκτός αν ψάχνει τρόπο να σκοτώσει την ώρα του. :-)

      Διαγραφή
    2. Όχι βρε παιδί μου,παρεξήγησες! Δεν ήταν επικριτικό ή υποτιμητικό το "ακαταλαβίστικο" που έγραψα. Περιείχε και έναν υπόρρητο θαυμασμό δε,καθώς εγώ είμαι ψιλοάσχετος από αυτά και ασφαλώς δεν είμαι οπισθοδρομικός ,ούτε με πήραν τόσο τα γεράμματα :-) ώστε να επιζητώ τον "παλιό καιρό" ..και τον λογαριθμικό κανόνα. :-)
      Άλλωστε αυτό που είναι ακαταλαβίστικο για κάποιον, για κάποιον άλλον είναι προφανής ενέργεια και ρουτίνα,και ανάποδα. :-)

      Διαγραφή
    3. Γέλασα με το "παιδί μου" μιας κι εγώ μπορεί και νάμαι πιο κοντά στο να με πάρουν τα γεράματα :-) Το σχόλιο δεν περιείχε κάποιον υπαινιγμό ότι ενοχλήθηκα - κάθε άλλο. Ήταν πλήρως κατανοητό το ύφος σας (σε αντίθεση με το δικό μου). Αν για κάτι εξέφρασα κάποιο παράπονο, είναι το ότι συναντώ συχνά θετικούς επιστήμονες που αποφεύγουν τον προγραμματισμό. Ειδικά στον τομέα των εφαρμοσμένων μαθηματικών θεωρώ ότι αυτό είναι ανεπίτρεπτο (άλλωστε τέτοιου είδους προγραμματισμό δεν μπορούν να κάνουν οι πληροφορικάριοι).
      Υ.Γ. Εγώ δεν είμαι τίποτε από τα παραπάνω - ούτε ξέρω πια τι είμαι. Από πολιτικός μηχανικός ξεκίνησα ..και στην κορφή κανέλα :-)

      Διαγραφή
    4. Όλα καλά συνάδελφε! ;-)
      Και συμφωνώ με όλα όσα ανέφερες (εκτός από την ...κανέλα. :-)
      Eίναι γνωστό πως αυτοί οι διαολεμένοι Π.Μ. με ένα μπετόν καλέντερ στο χέρι ως ικανή και αναγκαία συνθήκη (παλιότερα) ή με ένα καλό μηχανάκι σήμερα, μπορούν να κάνουν και να ασχοληθούν αξιοπρεπώς (κατ'ελάχιστον!) με ΤΑ ΠΑΝΤΑ! :-)

      Διαγραφή