Πέμπτη, 13 Νοεμβρίου 2014

Η Δημοσκόπηση

Σε μια αίθουσα τα 2/5 όλων των ατόμων φοράνε γάντια και τα 3/4 των ατόμων φοράνε καπέλο. 
Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός ατόμων που φοράνε και γάντια και καπέλο;
Πηγή:
Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία - Επαρχιακός Μαθηματικός Διαγωνισμός (Νοέμβριος 2013)
Λύση:
Ο ελάχιστος αριθμών ατόμων είναι Ε.Κ.Π.(4,5)=4*5=20. Άρα έχουμε
(2/5)*20 = 2*4=8 άτομα φοράνε γάντια
(3/4) * 20 = 3*5=15 άτομα φοράνε καπέλο
Επομένως στην ομάδα των 20 ατόμων, 8 άτομα φοράνε γάντια και 15 άτομα  φοράνε καπέλο, που σημαίνει ότι τουλάχιστον 15 + 8 − 20 = 3 άτομα φοράνε και γάντια και καπέλο.

8 σχόλια:

  1. Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Το πρόβλημα ζητάει τον ελάχιστο δυνατό αριθμό ατόμων όχι τον μέγιστο αριθμό.

      Διαγραφή
    2. Μια απλή πρακτική λύση
      Χωρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε μέσα στην αίθουσα $100$ άτομα.
      Απ αυτά τα $\dfrac{2}{5} \cdot 100 = 40$ άτομα φοράνε γάντια και τα $\dfrac{3}{4} \cdot 100 = 75$ άτομα φοράνε
      καπέλο.
      Επειδή $40 + 75 = 115 > 100$ , αναγκαστικά τουλάχιστον $15$ άτομα φοράνε και γάντια και καπέλο. Δηλαδή τελικά τουλάχιστον $15\% $ των ατόμων φοράνε ταυτόχρονα γάντια και καπέλο.

      Carlo καλημέρα . Ίσως κάτι δεν βλέπω καλά .
      Μπορείς να μου υποδείξεις σε τι σφάλω ;

      Διαγραφή
    3. Nίκο καλημέρα
      3*5=15, 5*20=100, άρα πάει και πιο κάτω.
      ελάχιστος αριθμός ατόμων 20 και 3 φοράνε και τα δύο.
      20*2/5=8 20*3/4=15 15+8-20=3 η τομή τους.

      Διαγραφή
    4. Καλημέρα Ευθύμη.

      Εξ αρχής το πρόβλημα, με χαρτί και μολύβι ας πούμε, το είχα λύσει ως εξής: $\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{{23}}{{20}}$ οπότε φαινόταν η απάντηση . Στην εκφώνηση όμως δεν έδινε πλήθος ατόμων οπότε θεώρησα συμβατικά ως τέτοιο τα $100$ άτομα. Και έδωσα στο τέλος ποσοστιαία λύση $15\% $.
      Εν κατακλείδι το πλήθος των ατόμων είναι πολλαπλάσιο του $20$ και οι ταυτόχρονα με γάντια και καπέλο το $15\% $ του $20n,n = 1,2,3,...$ που πράγματι δεν το είχα γράψει στην ανάρτησή μου . Όμως θα έπρεπε να το ζητούσε και αυτό.

      Η περαιτέρω ανάλυση είχε δοθεί από σένα αλλά μετά αποσύρθηκε ( γιατί ;) . Έκρινα σκόπιμο να μην επεκταθώ αφού πολύ σωστά έβαζες τα πράγματα πλήρως στη θέση τους .

      Διαγραφή
  2. Νίκο και Ευθύμη καλημέρα!
    Με πρόλαβε ο Ευθύμης για την απάντηση. Το σφάλμα σου ήταν ότι το πρόβλημα ζητάει τον ελάχιστο αριθμ'ο, όπως έγραψα και στο σχόλιο ανωτέρω.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
    Απαντήσεις
    1. Καλημέρα Κάρλο , πιο πάνω δίδω σχετικές εξηγήσεις στον Ευθύμη. Η απάντησή μου είναι ποσοστιαία άρα σωστή,
      Η εκφώνηση είναι ασαφής .
      Θα έπρεπε να ζητά:
      Ποιος είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός ατόμων που βρίσκονται μέσα στην αίθουσα και πόσοι τουλάχιστον απ αυτούς φοράνε ταυτόχρονα γάντια και καπέλο.
      Η μομφή προφανώς απευθύνεται στους αρχικούς θεματοδότες, αν η εκφώνηση έχει μεταφερθεί αυτούσια στην πιο πάνω ανάρτηση.

      Διαγραφή
    2. Νίκο, ακριβώς, έτσι όπως το γράφεις είναι:
      "...η εκφώνηση έχει μεταφερθεί αυτούσια από την πιο πάνω ανάρτηση."
      Δες τη πηγή λήψης του προβλήματος.
      Δεν αντιλέγω ότι ως προς το ποσοστό δεν είναι σωστή. Απλώς ήθελα τον ελάχιστο αριθμό ατόμων.

      Διαγραφή