Δευτέρα, 9 Ιουλίου 2018

Νίκος Ιωσηφίδης - Οι περιορισμοί στην Τριγωνομετρία

Εισήγηση στην 10η Μαθηματική Εβδομάδα 29-4-2018.

Γινόμενο

Να υπολογισθεί το γινόμενο
$2011 × 20122012 × 201320132013 -$
$− 2013 × 20112011 × 201220122012$
Harvard-MIT Math Tournament 2011

Root of Unity

The th roots of unity are roots of the cyclotomic equation
which are known as the de Moivre numbers. The notations , , and , where the value of is understood by context, are variously used to denote the th th root of unity.
is always an th root of unity, but is such a root only if is even. In general, the roots of unity form a regular polygon with sides, and each vertex lies on the unit circle.

59th International Mathematical Olympiad 2018 - ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

1η ΗΜΕΡΑ

Πρόβλημα 1ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε
Οι μεσοκάθετες των και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Πρόβλημα 2ο
Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν

Φλαμανδική Ολυμπιάδα Μαθηματικών

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 167η

Kάντε κλικ πρώτα στον παρακάτω σύνδεσμο:
και μετά κάντε κλικ στο σχήμα για να δείτε το αρχείο geogebra.

Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ “Σταμάτης Μπάτσης” - Τα θέματα των ετών 2013 - 2018

Σάββατο, 7 Ιουλίου 2018

Tέσσερα κενά

Στα παρακάτω τέσσερα κενά τοποθετούμε έναν από τους αριθμούς $1,2,3,4$.
$\left(\underline{\qquad}\times\underline{\qquad}\right)+\left(\underline{\qquad}\times\underline{\qquad}\right)$
Πόσες διαφορετικές τιμές του αθροίσματος μπορούμε να πάρουμε; 
AMC 10 2018

Επτά συστήματα ... 150 μεταβλητών


 Yue Kwok Choy 

Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;

H απάντηση είναι: ΝΑΙ
Έστω η ταυτότητα:
$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 
Θεωρώ το πολυώνυμο
$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$ 
τότε
$𝑝(0) = 0^3 − 1 − (0 − 1)(0^2 + 0 + 1) = 0 $
$𝑝(1) = 1^3 − 1 − (1 − 1)(1^2 + 1 + 1) = 0$ 
$𝑝(2) = 2^3 − 1 − (2 − 1)(2^2 + 2 + 1) = 0$ 
$𝑝(3) = 3^3 − 1 − (3 − 1)(3^2 + 3 + 1) = 0$ 
το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε
$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1) !$

Παρασκευή, 6 Ιουλίου 2018

International Mathematical Olympiad: Problems 1959 - 2017

YearLanguageDownloadShortlist
2018
2017
2016PDF
2015PDF
2014PDF
2013PDF
2012PDF
2011PDF
2010PDF
2009PDF
2008PDF
2007PDF
2006PDF

Πέμπτη, 5 Ιουλίου 2018

Two Trains Puzzle

Two trains are on the same track a distance 100 km apart heading towards one another, each at a speed of 50 km/h. A fly starting out at the front of one train, flies towards the other at a speed of 75 km/h.
Upon reaching the other train, the fly turns around and continues towards the first train. How many kilometers does the fly travel before getting squashed in the collision of the two trains?

Άθροισμα ψηφίων

Nα βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου
$11 · 101 · 111 · 110011$.
Harvard-MIT Math Tournament 2018