Κουνελοκατασκευές

α) Ένα κουνέλι που του αρέσουν τα Μαθηματικά έχει μία τετράγωνη αυλή με πλευρά $10$ μέτρα. Φτιάχνει εκεί ένα κηπάκο για να φυτέψει αγγουράκια συνδέοντας κάθε κορυφή της αυλής με το μέσο μιας απέναντι πλευράς, πηγαίνοντας δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στο σχήμα παρακάτω. 

Ποιο είναι το εμβαδόν της περιοχής που σχηματίζεται στο εσωτερικό του τετραγώνου; 

β) Ας υποθέσουμε ότι το κουνέλι φτιάχνει τον κηπάκο του συνδέοντας κάθε κορυφή της αυλής με ένα σημείο σε απόσταση $x$ από την επόμενη κορυφή, πηγαίνοντας δεξιόστροφα, όπως φαίνεται στο σχήμα. 

Τώρα ποιο είναι το εμβαδόν της περιοχής στο εσωτερικό του τετραγώνου;

Άθροισμα $2w + 3x+ 5y+7z$

Αν $w,x,y,z$ είναι ακέραιοι αριθμοί και ισχύει

$2^w\times 3^x\times 5^y\times 7^z=882$

τότε το άθροισμα

$2w + 3x+ 5y+7z$

ισούται με

α) $46$      β) $25$     γ) $22$      δ) $35$     ε) $60$       ζ) $21$

Ολοκλήρωμα περιμέτρου

Με τη βοήθεια της συνάρτησης 

$f(x)= \dfrac{\sqrt{8}}{3} \sqrt{9-x^2}$ 

σχηματίζουμε τρίγωνα με κορυφές τα σημεία $(-1,0)$, $(x, f(x))$, $(1,0)$, για κάθε $x \in (-3,3)$. 

Αν $P(x)$ είναι η περίμετρος των τριγώνων αυτών , τότε να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

 $\int_0^3 P(x) dx=$ 

α)  $3π\sqrt{2}$       β) $24$      γ) $64$       δ) $9$      ε) $10$

ΣΤΟΧΟΣ 227

Χρησιμοποιώντας τα σύμβολα των τεσσάρων πράξεων (όχι απαραίτητα όλες) και παρενθέσεις και τους αριθμούς $3, 3, 4, 4, 5,5$ από μία φορά το καθένα, να σχηματίσετε τον αριθμό $227$.

Μήκος ερωτηματικό [4]

Απόλυτη παράσταση

Έστω $α, β,γ$ ακέραιοι που ικανοποιούν τις σχέσεις 

$αβ + βγ +γα = 1$

και

$(1 + α^2)(1 +β^2)(1 + γ^2) = 6923904100$. 

Να βρεθεί η τιμή της παράστασης

$\mid (α+β)(β+γ)(γ+α) \mid$. 

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 28/5/2023

30. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα

$\int \left(x^{10}+\sqrt{1+x^{20}}\right)^{^{\Large\frac{21}{10}}}\,dx\ $

όπου $x\in \mathbb{R}$.

Αναμνηστική φωτογραφία

Οκτώ άτομα ποζάρουν μαζί σε ευθεία γραμμή για μια φωτογραφία. Η Αλίκη και ο Μπάμπης πρέπει να σταθούν ο ένας δίπλα στον άλλο και η Καίτη και ο Νίκος πρέπει να σταθούν ο ένας δίπλα στον άλλο. 

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν να ποζάρουν τα οκτώ άτομα για τη φωτογραφία τους;

Προτεινόμενα θέματα θεωρίας Α’, Β’ και Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Προτεινόμενα θέματα θεωρίας μαθηματικών Α’, Β’ και Γ’ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ από τους μαθηματικούς του 2ου Γυμνασίου Βέροιας Τριανταφυλλίδου Ε. και Κουκουλιάντας Γ.

Α Γυμνασίου 

Β Γυμνασίου

Γ Γυμνασίου

Πηγή: askisopolis

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: 10 Επαναληπτικές Ασκήσεις από την ομάδα του Askisopolis

Κάντε κλικ στην εικόνα.

Ο πιο μικρός

Να βρεθεί ο μικρότερος ακέραιος αριθμός $χ$ για τον οποίο ισχύει:

$$\sqrt[3]{10χ-200} + \sqrt[3]{10χ-300} +20χ-500>0$$

Όριο όταν $x \to 9$

Αν η εφαπτομένη της $C_f$ στο $x_0=9$ είναι $y=4(x-9) + 2$, τότε να βρεθεί το όριο

\[\lim_{x \to 9}\dfrac{f(x)-2}{\sqrt{x}-3}\]

Αριθμημένες γωνίες

Να βρεθεί το άθροισμα των αριθμημένων γωνιών του παρακάτω σχήματος.

Το ολοκλήρωμα της ημέρας 27/5/2023

29. Nα υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

$\int \dfrac{2017x^{2016}+2018x^{2017}}{1+x^{4034}+2x^{4035}+x^{4036}}dx$

Integration Bee MIT

Τρίγωνο $PQR$

Το $PQR$ είναι ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το σημείο $U$ είναι το μέσο του $PR$. Τα σημεία $T$ και $S$ διαιρούν τα $QP$ και $QR$ με αναλογία $1 : 2$. 

Το σημείο τομής των $PS, RT$ και $QU$ είναι $X$.  Εάν το εμβαδόν του $QSX$ είναι $1$ τετραγωνική μονάδα, ποιο είναι το εμβαδόν, σε τετραγωνικές μονάδες, του τριγώνου $PQR$; 

Α) $6$      Β) $8$      Γ) $9$      Δ) $12$      Ε) $18$

Ανάμεσα στα μέσα

Έστω κανονικό εξάγωνο $ABCDEF$. Να βρεθεί η πιθανότητα ένα τυχαία επιλεγμένο σημείο μέσα στο εξάγωνο να βρίσκεται μέσα στο τρίγωνο $PQR$, όπου 

• $P$ είναι το μέσο του $AB$, 
• $Q$ είναι το μέσο του $CD$ και 
• $R$ είναι το μέσο του $EF$.

$100Χ+Υ-Ζ=?$

Δίνεται η ακολουθία

$98,79,Χ,47,34,23,Υ,7,2,Ζ$.

Να υπολογιστεί το άθροισμα

$100Χ+Υ-Ζ$.

α) $6213$      β) $5814$     γ) $6214$     δ) $5813$    

ε) $6215$    ζ) $6114$

$11\times f(10)=?$

Έστω συνάρτηση $f$ που ικανοποιεί την ισότητα 

$$f(x)f(x+l) = x^2+3x $$

για κάθε πραγματικό αριθμό $x$. 

Αν 

$f(1)+ f(2) =\dfrac{25}{6}$ και $0 < f(1) < 2$ 

να βρεθεί η τιμή του

$11\times f(10)$.

Λείπει 1 €

Ο Θωμάς, ο Νίκος και ο Χαράλαμπος παρακολουθούν ένα συνέδριο μαζί έξω από την πόλη και διανυκτερεύουν σε ένα κοντινό ξενοδοχείο. 

Το ξενοδοχείο διαθέτει ειδική προσφορά για τους συμμετέχοντες στο συνέδριο και ο υπάλληλος τους χρεώνει $30$ € για το δωμάτιο. Ο καθένας δίνει $10$ € και πληρώνει τον υπάλληλο. Οι άντρες μετά πηγαίνουν στο δωμάτιό τους.

Για την ιστορία του μαθηματικού συμβόλου $+$

 Του Ανδρέα Πούλου   

Περιοδικό Μελέτη, Μάρτιος 2017