Κυριακή, 19 Οκτωβρίου 2014

Διανυσματικό άθροισμα

Έστω ένα απλό πολύγωνο $P_{ \nu } $ με $\nu$ πλευρές,αριθμημένες από $1$ έως $\nu$, στο επίπεδο.
Έστω  $\vec{ v_{k} }$ διάνυσμα κάθετο στην πλευρά $k$ με φορά προς τα έξω του εσωτερικού του πολυγώνου πάνω στην πλευρά $k$, και μέτρο ίσο με το μήκος της πλευράς $k$. Να υπολογισθεί το
$  \sum_{k=1}^{ \nu  }{ \vec{ v_{k} }}$.

Άλγεβρα Α' Λυκείου - Κριτήριο Αξιολόγησης στις Πιθανότητες

 Της Ρεβέκας Θεοδωροπούλου

Γεννητούρια

$1.$ Ένα νιόπαντρο ζευγάρι σκοπεύει ν' αποκτήσει $4$ παιδιά. Τι είναι πιθανότερο; Να αποκτήσει $2$ παιδιά από κάθε φύλο ή $3$ παιδιά του ίδιου φύλου;
$2.$ Σε μια μακρινή χώρα,ο δικτάτωρ Ηλιθιάχθος αποφασίζει να ελέγξει τις γεννήσεις και να εξισορροπήσει τον αριθμό αγοριών και κοριτσιών.

Cogito ergo ridere

$1.$ Τρεις φίλοι, ένας θεωρητικός φυσικός, ένας μηχανικός κι ένας στατιστικολόγος πάνε για κυνήγι. Ξάφνου μπροστά τους στα 300 μέτρα βλέπουν ένα υπέροχο ελάφι. Ο φυσικός βγάζει μολύβι και χαρτί και υπολογίζει ταχύτητα σφαίρας ,γωνίες, εξισώσεις τροχιάς κι όλα τα σχετικά, υποθέτει μηδενική αντίσταση από τον αέρα... σηκώνει το όπλο υπό μια γωνία και πυροβολεί. Η σφαίρα πέφτει δέκα μέτρα μπροστά από το ελάφι.

Σάββατο, 18 Οκτωβρίου 2014

Ελάχιστη Διαδρομή

Δίδεται τετράγωνο $ABCD$ κέντρου $O$ πλευράς $a$ και μεταβλητό σημείο $S$ του τμήματος $AB$.
Αν $P$ η προβολή του $S$ στην $CD$, να προσδιοριστεί η θέση του $S$ για την οποία το άθροισμα της τεθλασμένης $OSPB$ γίνεται ελάχιστο και να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του μέτρου της.
- Kάντε κλικ εδώ, για να δείτε την απάντηση που μου έστειλε ο κ. Κ. Δόρτσιος. 

Παρασκευή, 17 Οκτωβρίου 2014

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 67η

Πιθανότητες και Ιατρική

Έστω ότι κάποιο τεστ ανίχνευσης του ιού (H. I.V.) του AIDS έχει ακρίβεια $99\% $.
Δηλαδή αν κάποιος είναι φορέας τότε η διάγνωση είναι θετική $99$ φορές στις $100$, ενώ αν κάποιος δεν είναι φορέας η διάγνωση είναι αρνητική $99$ φορές στις $100$.Έστω επίσης το ποσοστό του πληθυσμού που φέρει τον ιό του AIDS είναι $0,1\%$. Εξετάζονται $100000$ άνθρωποι με το τεστ ανίχνευσης. Ανακοινώνεται σε κάποιο από τους εξετασθέντες ότι το αποτέλεσμα γι’ αυτόν από το τεστ ανίχνευσης είναι θετικό.
Να υπολογιστεί η πιθανότητα να είναι ο άνθρωπος αυτός πραγματικά φορέας του AIDS.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου στους Μιγαδικούς Αριθμούς

Ένα τρίωρο διαγώνισμα υψηλής δυσκολίας αποκλειστικά στο κεφάλαιο των μιγαδικών αριθμών στο οποίο εξετάζεται λεπτομερώς το κεφάλαιο στο αλγεβρικό αλλά και στο γεωμετρικό του μέρος. 
Το διαγώνισμα αποτελείται από θέματα των μαθηματικών Π. Σταματιάδη, Π. Τρύφωνα, Γ. Σταματογιάννη και Δ. Ιωάννου και απευθύνεται σε πολύ καλά προετοιμασμένους μαθητές.
Κάντε κλικ στην εικόνα.
Πηγή

Ένα Μυθικό Πρόβλημα Μοιρασιάς !!!

Σε ένα από τα πολλά ταξίδια του, στο βουνό των Κενταύρων, ο Ηρακλής βρέθηκε αντιμέτωπος  με μια παρέα 5 Κενταύρων,  οι όποιοι ήταν έτοιμοι να πιαστούν στα χέρια, ή στα... πόδια αν προτιμάτε, γιατί δεν μπορούσαν να μοιραστούν μια ποσότητα κρασιού. 
Για να αποφευχθεί το κακό ο Ηρακλής προσφέρθηκε να τους βοηθήσει να λύσουν το πρόβλημα που προέκυψε. Αυτοί, λοιπόν, του έδειξαν  45 φλασκιά με κρασί, τα οποία ήταν κατανεμημένα ως εξής:
α) Εννέα φλασκιά ήταν γεμάτα με κρασί.(4/4=100μονάδες)

Πέμπτη, 16 Οκτωβρίου 2014

Ο Χρόνος

Ένα μεγάλο κερί καίγεται σε μια ώρα και κοστίζει 0.60€. Ένα μικρό κερί καίγεται σε 11 λεπτά και κοστίζει 0,11€. Μπορείς να μετρήσεις χρόνο ακριβώς ένα λεπτό ξοδεύοντας όχι περισσότερα από 1,5€;

Η Συγκέντρωση

Σε μια κοσμική συγκέντρωση κατά του αλκοολισμού παραβρέθηκαν 150 άνδρες και 70 γυναίκες. Ο μπάρμαν  ισχυρίστηκε, μετά το τέλος της συγκέντρωσης, ότι καταναλώθηκαν συνολικά 1.110 αναψυκτικά. Επίσης επιβεβαιώθηκε ότι ο κάθε άνδρας κατανάλωσε  τον ίδιο αριθμό  αναψυκτικών με οποιονδήποτε άλλο άνδρα και το ίδιο  ισχύει και για τις γυναίκες. Πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε άνδρας και πόσα αναψυκτικά κατανάλωσε κάθε γυναίκα;

$\dfrac{{BC}}{{CD}} = ;$ (Απάντηση)

Τετάρτη, 15 Οκτωβρίου 2014

Ορθογώνια

Να βρεθεί ο αριθμός των ορθογωνίων που περιέχουν το χρωματισμένο ορθογώνιο.
1998 SMO Senior Round 1

Η Ηλικία

Σε δέκα χρόνια η συνολική ηλικία της Μαίρης, της Ιωάννας, του Μπάμπη, και του Γιάννη θα είναι 100. Ποια θα είναι η συνολική ηλικία τους σε επτά χρόνια;

Ντουζίνες από σύνθετους

Επιλέγονται τυχαία $12$ σύνθετοι αριθμοί ανάμεσα στους φυσικούς από το $1$ έως και το $1200$. Δείξτε πως θα υπάρχουν πάντα, ανάμεσα στους δώδεκα, δύο αριθμοί με κοινό παράγοντα μεγαλύτερο της μονάδας.