Πέμπτη, 30 Ιουνίου 2016

Καθαρός αέρας

Κάποτε, έπειτα από ένα σαββατοκύριακο στην εξοχή, επέστρεψα στο σπίτι με το τρένο. Στο βαγόνι επικρατούσε συνωστισμός, και έτσι πήγα στην - ελεύθερη» άκρη του βαγονιού - όπου δεν υπήρχαν καθίσματα-, και εκεί όμως η κατάσταση δεν ήταν πολύ καλύτερη.
Κάθε φορά που το τρένο πλησίαζε σ' ένα σταθμό και μείωνε την ταχύτητά του, έμπαινε καθαρός αέρας από κάποιον αεραγωγό. 'Οταν το τρένο σταματούσε, έπαυε και η ροή του αέρα.

48th International Mathematical Olympiad 2007 - Shortlisted Problems with Solutions

47th International Mathematical Olympiad 2006 - Shortlisted Problems with Solutions

Τρίτη, 28 Ιουνίου 2016

Δύο κορυφές ακόμη

Δίνονται οι πέντε κορυφές ενός κανονικού επταγώνου. 
Να κατασκευαστούν οι άλλες δύο κορυφές του με τη χρήση μόνο χάρακα.
Berkeley Math Circle 2008

Casey's theorem

Πενταγωνισμός

Σε ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες βάσης από , να εγγράψετε κανονικό πεντάγωνο, όπως δείχνει το σχήμα. 
Στη συνέχεια να δείξετε ότι ο περίκυκλος του πενταγώνου και ο κύκλος είναι ίσοι.

Κομπιουτεράκι για την εύρεση του πεδίου ορισμού συνάρτησης

Functions Domain Calculator
Κάντε κλικ στην εικόνα.

2.014 πόλεις

Σε ένα μακρινό πλανήτη, υπάρχουν 2.014 πόλεις, μερικά ζεύγη των οποίων συνδέονται με δρόμους διπλής κατεύθυνσης. 
Αποδεικνύεται ότι ο πληθυσμός της κάθε πόλης είναι ο μέσος
όρος των πληθυσμών των πόλεων με το οποίο είναι συνδεδεμένο με ένα μόνο δρόμο, και, επιπλέον, ότι είναι δυνατό να ταξιδέψει από κάθε πόλη σε κάθε άλλη πόλη από μια ακολουθία των δρόμων. Αποδείξτε ότι όλες οι πόλεις έχουν τον ίδιο πληθυσμό.

Είναι δυνατόν;

Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:  \Re →  \Re $. Είναι δυνατόν η συ-
νάρτηση $f(g(x))$ να είναι γνησίως φθίνουσα και η συνάρτηση $g(f(x))$ να είναι γνησίως αύξουσα;
Berkeley Math Circle 2015

Κυριακή, 26 Ιουνίου 2016

Πέντε παρενθέσεις

Με  α^β συμβολίζουμε τη δύναμη $α^β$. Μπορούμε στην παράσταση 
7^7^7^7^7^7^7 
χρησιμοποιώντας πέντε παρενθέσεις (ζεύγη), με δύο διαφορετικούς τρόπους να έχουμε την ίδια τιμή;
Tournaments of Towns 2009
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Έγχορδο τραπέζιο

Σε κύκλο πήραμε χορδή . Σημείο κινείται επί του μείζονος τόξου. 
Επί των ημιευθειών θεωρούμε σημεία ώστε . Υπολογίστε το μέγιστο του
Εφαρμογή για

Οι επιπτώσεις του Brexit στους Έλληνες που σπουδάζουν στη Μεγάλη Βρετανία

ΤΡΙΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΔΙΔΑΚΤΡΩΝ ΚΑΙ ΑΔΕΙΑ ΠΑΡΑΜΟΝΗΣ
Κανείς δεν μπορεί να προβλέψει με ακρίβεια πόσο θα επηρεάσει τους Έλληνες φοιτητές που σπουδάζουν στη Μεγάλη Βρετανία ενδεχόμενο Brexit.
Όλα θα εξαρτηθούν - σε μεγάλο βαθμό - από τις μετέπειτα διαπραγματεύσεις των Βρετανών με την Ευρωπαϊκή Ένωση.

Junior Balkan Mathematical Olympiad 2016

Το 1o πρόβλημα προτάθηκε από τη Βουλγαρία, το 2o πρόβλημα από τη Βοσνία και τα προβλήματα 3o και 4o από τον Σιλουανό Μπραζιτίκο.
Πρόβλημα 1ο
Δίνεται ένα περιγράψιμο τραπέζιο με και . Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται των πλευρών και στα σημεία και , αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι το έκκεντρο του τραπεζίου ανήκει στην ευθεία .

$58+37=?$

Ισορροπημένα βάρη

Θέλουμε να ισορροπήσουμε τη ζυγαριά χρησιμοποιώντας τα τέσσερα αυτά βάρη που είναι από 1kg έως 40kg (ακέραιοι αριθμοί). Τρία από τη μία μεριά και το ένα από την άλλη.
Ποιο είναι το μεγαλύτερο βάρος;

2127

Σχηματίστε τον αριθμό $2127$ χρησιμοποιώντας τους αριθμούς
$7, 4, 3, 1, 24, 695$ 
και τις βασικές αριθμητικές πράξεις $(+, -, \times, \div)$.
Κάθε ένα από τα αριθμών μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο μία φορά.