Τρίτη 28 Ιουνίου 2022

Γράφημα $f'' $

Στο παρακάτω σχήμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση της δεύτερης παραγώγου μιας συνάρτησης $f$.
Να βρεθεί το όριο:
$$ \big( \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty }\dfrac{f'(χ)}{χ}\big) \big( \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty  }-\dfrac{f'(-χ)}{χ}\big)$$
University of Houston Mathematics Contest 2022

Λογάριθμος του φ

Δευτέρα 27 Ιουνίου 2022

Από USA

Δίνεται η συνάρτηση
$f(χ) = α^χ +\dfrac{1}{α^χ}$
όπου $α$ θετικός πραγματικός αριθμός.

Αν $f(\dfrac{2}{3})= 1 + 2\sqrt{2}$, τότε να βρεθεί η τιμή $f(\dfrac{3}{2})$.
Adrian Andreescu, University of Texas, USA

Αντικατάσταση ? όχι φυσικά

Αν $x = 9$, να βρεθεί η τιμή της παράστασης 
$$x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1$$

Πολυποσοστό

Κυριακή 26 Ιουνίου 2022

Δυο μαθηματικοί από την λήθη της ιστορίας

 Του Ηλία Θάνου 
Θεαίτητος ο Αθηναίος (5ος-4ος π.Χ. αιώνας)
Μαθηματικός ο οποίος άκμασε τον 4ο αιώνα π.Χ. Πέθανε νεότατος από αρρώστια που του μεταδόθηκε στον πόλεμο. Το έτος θανάτου του τοποθετείται παραδοσιακά στο 369 π.Χ. (48 ετών). Η D. Nails επιχειρηματολογεί λέγοντας, ότι ο Θεαίτητος πέθανε το έτος 391 π.Χ. 
Άρα, συμπεραίνουμε ότι δεν έζησε σε ηλικία μεγαλύτερη των 26 ετών. Από τον ομώνυμο διάλογο του Πλάτωνα, που είναι αφιερωμένος σε αυτόν, συνάγεται ότι υπήρξε μαθητής του Θεόδωρου του Κυρηναίου και ότι ήταν αρκετά προσφιλής στον Πλάτωνα.

Σάββατο 25 Ιουνίου 2022

Το φάουλ του Roberto Carlos [το 1997], η μπάλα «στρίβει» στον αέρα σαν ... DVD (video και οι σχετικοί υπολογισμοί)

Το φάουλ του Roberto Carlos εναντίον της Γαλλίας το $1997$ είναι ένα ακραίο παράδειγμα του Magnus Effect! Κλώτσησε την μπάλα με γωνιακή ταχύτητα $14$ στροφών ανά δευτερόλεπτο (γρηγορότερη από ορισμένες συσκευές αναπαραγωγής DVD).

Τι είναι το ακτίνιο (rad) ;

Σύγκριση συνθέσεων

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου: ΘΕΡΙΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ - Μαθηματικές στιγμές μέσα στις διακοπές (pdf)

Παρασκευή 24 Ιουνίου 2022

Κοινές ρίζες

Αν το πολυώνυμο  
$g(χ) = χ^3 + αχ^2 + χ + 10$, όπου $α\in R$ 
έχει 3 διαφορετικές ρίζες και κάθε ρίζα του πολυωνύμου $g(x)$ είναι και ρίζα του πολυωνύμου 
$f(χ) = χ^4 + x^3 + βχ^2 + 100χ +γ$, όπου $β,γ\in R$.
τότε να βρεθεί η τιμή του του f(1).
α) −9009    β) −8008    γ) −7007    δ) −6006    ε) −5005

Αστέρι

Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Τα σημεία $A'$ και $A''$ που τριχοτομούν την πλευρά $BC$, $B'$ και $B''$ την πλευρά $AC$ και $C'$ και $C''$ την πλευρά $AB$, όπως φαίνεται στο σχήμα. 
Τι ποσοστό του εμβαδού του τριγώνου $ABC$ είναι το εμβαδόν του σκιασμένου αστεριού;