Τρίτη, 29 Ιουλίου 2014

Σε ίσες αποστάσεις

Σε τρίγωνο $ABC$, το ύψος $AD$ ισούται με την πλευρά $BC$. Δείξετε ότι το ορθόκεντρο $H$ του τριγώνου ισαπέχει του μέσου $M$ του $AD$ και του μέσου $O$ του $BC$.

Δευτέρα, 28 Ιουλίου 2014

To Pizza or not to Pizza?

Ο Αντώνης κι ο Βρασίδας είναι φοιτητές και συγκάτοικοι. Ψάχνοντας ένα βράδυ στο ψυγείο τους (πολλά μαθηματικώς αξιοπερίεργα πράγματα μπορεί να βρεθούν ξεχασμένα σε ένα φοιτητικό ψυγείο, ακόμη και το κενό σύνολο ενίοτε...) ανακάλυψαν $3$ κομμάτια πίτσα. Κρύα και ελαφρώς μπαγιάτικη, η πίτσα θα μπορούσε να μοιραστεί με διάφορους τρόπους.

Μαθητές σχολείου

Οι μαθητές ενός σχολείου είναι περισσότεροι από $100$ αλλά λιγότεροι από $200$.
Αν παραταχθούν σε δεκάδες λείπει ένας . Αν παραταχθούν σε εννιάδες  περισσεύουν $7$. Βρείτε το πλήθος αυτών των μαθητών.

Πιο κοντινός στο 1000

Να βρεθεί ο πιο κοντινός  στο $1000$  ακέραιος , που διαιρείται ακριβώς με το $13$ ενώ αν του προσθέσουμε $5$ διαιρείται ακριβώς με $17$.

Σάββατο, 26 Ιουλίου 2014

Διαιρετότητα

Αποδείξτε πως το $ν^{2}+23$ διαιρείται με το $24$ για απείρως πολλούς $ν$.

Φόρμουλα Μία

Το πλάτος της πίστας αγώνων αυτοκινήτων που απεικονίζεται σε κάτοψη είναι σταθερό και ίσο με $8$ μέτρα.
Ποια είναι η διαφορά στο μήκος μεταξύ της δεξιάς και της αριστερής πλευράς (ακμής) της διαδρομής;

Εύρεση γωνίας

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $\widehat B = {70^0}$ και   $\widehat C = {50^0}$. Στις $AB,AC$ θεωρούμε τα σημεία $E,D$ αντίστοιχα για τα οποία : $D\widehat BC = {50^0}$ και   $E\widehat CB = {40^0}$.
Δείξετε ότι: $\widehat x = C\widehat ED = {30^0}$.

Τρίτη, 15 Ιουλίου 2014

2 - Η ομορφιά των αριθμών

 1  1  1 = 12
 1  2  25 = 52
 1  3  36 = 62
 1  4  4 = 22
 1  5  25 = 52
 1  6  16 = 42
 1  7  576 = 242
 1  8  81 = 92
 1  9  9 = 32
 2  1  1156 = 342
 2  2  225 = 152

Ισότητες χωρίς σύγκριση τριγώνων

Η χορδή είναι κάθετη στη διάμετρο και το σημείο της . Γράφω τον κύκλο διαμέτρου $SB$, ο οποίος τέμνει την στο .
Οι ευθείες $SP$ και τέμνονται στο . Δείξτε ότι 
$SP=PT$ και .
Πηγή: mathematica

Δευτέρα, 14 Ιουλίου 2014

Άσκηση Γεωμετρίας (προταθείσα από Φώτη Κότσιρα)

Ας μου επιτραπεί να αλλάξω τα γράμματα αλλά όχι την ουσία.
Έχουμε λοιπόν ένα ορθογώνιο τρίγωνο $ABC(A = {90^0})$ για τα μήκη των πλευρών του $a = BC,c = AB$ ισχύει: 
 $3{a^2} - 2ac - 5{c^2} = 0$. 
Αν $D$ το έγκεντρο και $E$ το βαρύκεντρο του τριγώνου $ABC$ να δείξουμε ότι $DE \bot AB$.

Τρίτη, 8 Ιουλίου 2014

1 - Η ομορφιά των αριθμών

 272 = (2 + 7)3
 81 = (8 + 1)2
 101 = 102 + 12
 153 = 13 + 53 + 33
 2432 = (2 + 4 + 3)5
 2433 = (24 + 3)5
 371 = 33 + 73 + 13
 407 = 43 + 073
 512 = (5 + 1 + 2)3
 7292 = (72 + 9)3
 1001 = 103 + 013
 10242 = (10 + 2 + 4)5
 1233 = 122 + 332

Ισότητα και ανισότητα

Να αποδειχθεί ότι: 
i) $ \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1 $
ii) $ 3^{33}+4^{33}+5^{33}<6^{33} $.
Romania District Olympiad 2014, Grade 6

Παρασκευή, 4 Ιουλίου 2014

Στατιστικά των βαθμολογιών για τις πανελλαδικές εξετάσεις 2014

Δόθηκαν από το Υπουργείο Παιδείας στη δημοσιότητα τα στατιστικά στοιχεία των βαθμολογιών των μαθημάτων, στα οποία εξετάστηκαν σε πανελλαδικό επίπεδο οι μαθητές και οι απόφοιτοι Γενικού Λυκείου, για εισαγωγή στην Τριτοβάθμια Εκπαίδευση.
Για να δείτε τα στατιστικά κάντε κλικ στην εικόνα.