Πέμπτη, 18 Ιανουαρίου 2018

Ανισοτική με ολοκλήρωμα

Nα αποδειχτεί ότι για κάθε $a > \dfrac{1}{e}$ ισχύει η ακόλουθη ανισότητα 
$\int\limits_{1+lna}^{1+ln(a+1)}\! x^x dx ≥ 1$.
Proposed by Nguyen Viet Hung, Hanoi University of Science, Vietnam

Τετάρτη, 17 Ιανουαρίου 2018

Ελβετικά τρένα

Τα ελβετικά τρένα φεύγουν από τη Ζυρίχη για τη Γενεύη κάθε ώρα. Το ταξίδι διαρκεί τρεις ώρες. 
Κάθε τρένο περιμένει μία ώρα στην πόλη προορισμού και στη συνέχεια επιστρέφει. 
εικόνα
Μετά από μια ώρα διάλειμμα, ξεκινά το ταξίδι ξανά. Πόσα τρένα χρειάζονται για να καλύψουν ένα εικοσιτετράωρο;

Δευτέρα, 15 Ιανουαρίου 2018

Παρασκευή, 12 Ιανουαρίου 2018

Κατάταξη των σχολείων με βάση τους διακριθέντες του 78ου Μαθηματικού διαγωνισμού «Θαλής», της Ελληνικής Μαθηματικής Eταιρείας

Τους επιτυχόντες του μαθηματικού διαγωνισμού "Θαλής" 2017 - 2018 της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας μπορείτε να τους δείτε στο επίσημο site της εδώ ανά τάξη.
Εδώ μπορείτε να δείτε την κατάταξη των σχολείων με βάση τον αριθμό των μαθητών τους που πέρασαν στην επόμενη φάση.

Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 160η

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου; Διαγώνισμα προσομοίωσης από την Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί (μέχρι και την εξίσωση εφαπτομένης)

 Του Γιάννη Σαράφη 
Πηγή: lisari

Πέντε τετράγωνα

Πέντε τετράγωνα είναι τοποθετημένα όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Να βρεθεί ο λόγος των εμβαδών $\dfrac{A}{B}$.

Πέμπτη, 11 Ιανουαρίου 2018

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου: Διαγώνισμα προσομοίωσης

 Του Βασίλη Κακαβά 
Πηγή: lisari

Γωνία στο τετράγωνο

Το ημικύκλιο του σχήματος έχει διάμετρο και κέντρο Το είναι τετράγωνο 
και τα σημεία είναι συνευθειακά: 
α) Να κατασκευάσετε το τετράγωνο
β) Προεκτείνουμε την που τέμνει το ημικύκλιο στο Να υπολογίσετε τη γωνία
Πηγή

Τετάρτη, 10 Ιανουαρίου 2018

Τρίτη, 9 Ιανουαρίου 2018

Paradoxes and Sophisms in Calculus

Κάντε κλικ στην εικόνα.

$(lnx)' = \dfrac{1}{x} $

 Απόδειξη 
Έχουμε
$(lnx)' = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{ln(x+h)-lnx}{h}$
$= \lim\limits_{h \rightarrow 0}  \dfrac{1}{h} ln \dfrac{x+h}{x}$
$= \lim\limits_{h \rightarrow 0}ln(1+ \dfrac{x}{h})^{ \dfrac{1}{h}}$
$=ln \lim\limits_{h \rightarrow 0}(1+ \dfrac{x}{h})^{ \dfrac{1}{h}}$
$=lne^{ \dfrac{1}{x} }$
$= \dfrac{1}{x} $