Μαργαρίτα + 2 προεκτάσεις του προβλήματος από τον κ. Δόρτσιο

Χωρίς υπολογισμούς, να συγκριθούν τα εμβαδά των κόκκινων και των πράσινων επιφανειών.

Δύο προεκτάσεις του προβλήματος (Toυ Κώστα Δόρτσιου, Γρεβενά)

Η όμορφη αυτή σκέψη μπορεί να υλοποιηθεί και στα δύο ακόλουθα σχήματα:

Και όμως δεν είναι ισοσκελές

Σε τρίγωνο $ABC$ είναι $A = {36^{0\,\,}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,B = {12^0}$.

Να δείξετε ότι οι εξωτερικές διχοτόμοι $BD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CE$ είναι ίσες.

Ισόπλευρο και κύκλοι

Στο σχήμα το τρίγωνα $ABC\,$ είναι ισόπλευρο. Οι τέσσερις κύκλοι είναι ίσοι με ακτίνα $r = 2$, ο καθένας, είναι δε εγγεγραμμένοι:

Ο μεσαίος στο τρίγωνο $DSP$ και οι τρεις άλλοι στα τρίγωνα $ABD,BCS,CAP$. Βρείτε το μήκος της πλευράς του $ABC$.

Γεωμετρικός τόπος

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών $z$ για τους οποίους:

$\left| {\dfrac{{{z^2} + 9}}{z}} \right| = 6$.

Είναι ισοσκελές

Σε οξυγώνιο τρίγωνο $ABC$ ( $AB < AC$) η γωνία $A = {60^0}$. Η κάθετη από το $B$ στην εσωτερική διχοτόμο $AD$, τέμνει την $AC$ στο $E$.

Αν $Z$ σημείο της $AB$ με $AZ = EC$, δείξετε ότι $CB = CZ$.

Τριχοτόμηση

Δίδεται τραπέζιο $ABCD\,\,(AB//CD)$. Να φέρετε ευθεία $(\varepsilon )$ παράλληλη στις βάσεις του τραπεζίου και να τέμνει τις μη παράλληλες πλευρές $AD,BC$ στα $K,N$ αντίστοιχα και τις διαγώνιους $AC,BD$ στα $L,M$ αντίστοιχα εις τρόπον ώστε:

$KL = LM = MN$.

Ανισότητες - 340η

Έστω $a, b, c, x, y, z$ θετικοί αριθμοί, τέτοιοι ώστε $x + y + z = 1$ και

$2ab + 2bc + 2ca > a^2 + b^2 + c^2$.

Να αποδειχθεί ότι

Arkady Alt, San Jose, California, USA

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Ανισότητες - 339η

Έστω $a, b, c$ θετικοί ακέραιοι αριθμοί, τέτοιοι ώστε

$a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4$.

Να αποδειχθεί ότι

Marius Stanean, Zalau, Romania

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Γωνίες τριγώνου

Σε ισοσκελές τρίγωνο $ABC(AB = AC)$ είναι $\widehat A = {48^0}$. Έστω σημείο $D$ στην $AB$ με $D\widehat CB = {18^0}$ και σημείο $K$ στην $CD$ με $K\widehat AC = {18^0}$.

Να υπολογιστούν οι γωνίες του τριγώνου $DBK$.

Πάντα ίσα

Σε κύκλο κέντρου $O$ θεωρούμε δύο κάθετες διαμέτρους. 

Δύο τυχαία σημεία $P,Q$ του κύκλου προβάλλονται, πάνω στη οριζόντια διάμετρο στα $K,L$ αντίστοιχα και στα $A,B$ αντίστοιχα πάνω στην κατακόρυφη διάμετρο. Δείξετε ότι $AK = LB$.

Απάντηση στο πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν (του Νίκου Φραγκάκη)

Το πρόβλημα: Μέγιστο εμβαδόν
Στο πρώτο σχήμα:

Έχει κατασκευαστεί  τετράπλευρο $PBTC$ με πλευρές $PB = 8,BT = 4,TC = 1,CP = 8$ που όμως δεν είναι εγράψιμμο η διαγώνιος του $PT = 8$  και μετά το παραλληλόγραμμο $ABCD$ με 

$BA// = TP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD// = BC$.

Το εμβαδόν του τετραπλεύρου $PBTC$ είναι χωρισμένο σε τρίγωνα με γνωστές και ακέραιες πλευρές και έχει εμβαδόν 

$(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{4}$ 

και άρα το παραλληλόγραμμο έχει εμβαδόν

$(ABCD) = 2(PBTC) = \dfrac{{\sqrt {3135}  + \sqrt {255} }}{2}$.

Εδώ την πάτησα.

Ημερομηνίες Προκριματικού Διαγωνισμού 2014

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ

Η Επιτροπή Διαγωνισμών αποφάσισε ο Προκριματικός Διαγωνισμός για την επιλογή των ομάδων που θα μας 

εκπροσωπήσουν στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα και στη Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων θα γίνει ως εξής:

Α. Ο Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων 

Ο Προκριματικός Διαγωνισμός Νέων θα πραγματοποιηθεί το Σάββατο 12 Απριλίου 2014,ώρα 9.00, στο Νέο Χημείο (Ναυαρίνου 13Α, Αθήνα) .

Η συνέντευξη γνωριμίας των μαθητών με την Επιτροπή Διαγωνισμών θα γίνει στις 13.00 την ίδια μέρα στα Γραφεία της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Πανεπιστημίου 34, Αθήνα).

Τρία ίσα τμήματα

Δεδομένων δύο κύκλων C και C ', να κατασκευαστεί μια ευθεία (d), η οποία να τέμνει τους δύο κύκλους σε τέσσερα σημεία, έτσι ώστε να ορίζονται τρία ίσα τμήματα επί της ευθείας (d).

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Μέγιστο εμβαδόν

Ένα παραλληλόγραμμο και σημείο $Ρ$ στο εσωτερικό του, τέτοιο ώστε οι αποστάσεις από τις κορυφές του να είναι $1, 4, 7, 8$.  

Ποιο είναι το μέγιστο εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου;

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Θέματα Άλγεβρας Α΄Λυκείου σ όλη την ύλη

 Του Χρίστου Τριανταφύλλου 

Κάντε κλικ εδώ.
Πηγή: Μαθηματική Περιπλάνηση