Παρασκευή, 22 Ιουλίου 2016

Ορθές προβολές

Έστω οξυγώνιο τρίγωνο $ΑΒΓ$ και $Ε$ σημείο επί της πλευράς $ΑΒ$, τέτοιο ώστε $Δ$ η προβολή του $Ε$ επί της $ΒΓ$, $Ζ$ η προβολή του $Δ$ επί της $ΑΓ$ και $Ε$ η προβολή του $Ζ$ επί της $ΑΒ$.
Να βρεθεί το μήκος του τμήματος $ΒΕ$, συναρτήσει των πλευρών του τριγώνου.

$1+2+4+8+16 … = - 1$

Έστω 
$x = 1+2+4+8+16…$          (1)
Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το $2$ και έχουμε 
$2x=2+4+8+16+32…$       (2)
Αφαιρούμε και από τα δύο μέλη της (1) το 1 και έχουμε 
$x−1=2+4+8+16+32…$     (3)
Από (2) και (3) έχουμε
$2x=x−1$
$x=−1$.
Άρα 
$1+2+4+8+16 … = - 1$
Που βρίσκεται το λάθος;

Μπανάνες και καρύδες

Δύο πίθηκοι μπήκαν $3$ φορές σε οπωρώνα και συγκέντρωσαν ισάριθμες ποσότητες από μπανάνες και καρύδες, ετοιμάζονται για το φαγοπότι αλλά βλέπουν τον ιδιοκτήτη να τους πλησιάζει με το μπαστούνι.
Υπολογίζουν ότι για να τους φτάσει θα περάσουν $2\dfrac{2}{3}$ λεπτά. Τρώνε με λαιμαργία, ο πρώτος που τρώει $10$ καρύδες στο λεπτό, τις τρώει όλες στα $\dfrac{2}{3}$ αυτού του χρόνου και βοηθά το φίλο του να φάει τις μπανάνες, προλαβαίνουν στο παρά πέντε.

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Β΄ και Γ΄ Λυκείου

Τρικ με κομμάτια σοκολάτας

Στο internet μπορείς να βρεις πολλά «κόλπα» που έχουν σχέση με μαθηματικά. Ένα έξυπνο τρικ είναι αυτό με τα κομμάτια της σοκολάτας. Δες την παρακάτω σύντομη ταινία και προσπάθησε να καταλάβεις πώς η σοκολάτα φαίνεται να παραμένει σε ίδιο μέγεθος, ενώ κάθε φορά περισσεύει ένα κομμάτι.
Δεν γίνεται κάτι «μαγικό», αλλά χρειάζεται παρατηρητικότητα για να καταλάβεις τι είναι αυτό που ξεγελάει.

Πέμπτη, 21 Ιουλίου 2016

«Ενδιαφέρουσες» τετράδες

Η τετράδα θετικών ακέραιων $(a, b,c,d)$ λέγεται «ενδιαφέρουσα», αν οι αριθμοί 
$a^2,b^2, c^2, d^2+l$ 
με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας αριθμητικής προόδου. 
α) Βρείτε μία τουλάχιστον «ενδιαφέρουσα» τετράδα. 
β) Ο αριθμός όλων των τετράδων που είναι «ενδιαφέρουσες» είναι πεπερασμένος ή άπειρος; 
Να εξηγήσετε την απάντησή σας.
11η Μεσογειακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2008

43 - Ποιος είναι ο επόμενος;

Ποιος είναι ο επόμενος όρος της παρακάτω ακολουθίας
$​50, 30, 40, 75, 170, ?$

$4Q-aP=?$

Αν $a^3 +b^3 +27ab=729$, με $a>b>0$ και η εξίσωση
$ax^2+bx-9=0$ 
έχει ρίζες $P, Q (P < Q)$, τότε να υπολογιστεί η τιμή της παράστασης
                      $4Q-aP$

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Δέκα όρια

Να υπολογισθούν τα όρια
1. $\lim_{x\to 0} \left(\sqrt{\dfrac{1}{x}+2} - \sqrt{\dfrac{1}{x}}\right)$

2. $\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{\sin(\tan(x))}}{\sqrt{\tan(\sin(x))}}$

3. $\lim_{x\to 0} \dfrac{\tan^2 (3x)}{x^2}$

4. $\lim_{x\to 0} \dfrac{(1+x)^{1/x}-e+\frac{ex}{2}}{x^2}$

$\sqrt{2}+ \sqrt{3} \approx π$

Μαθηματική Ολυμπιάδα Αγίας Πετρούπολης 2015 (9η τάξη)

1. Υπάρχει τριώνυμο δευτέρου βαθμού με ακέραιους συντελεστές τέτοιο, ώστε 
;
2. Δίνεται ισοσκελές τραπέζιο () και σημείο στον περιγεγραμμένο κύκλο του τέτοιο ώστε . Να αποδείξετε ότι .

Αποδείξεις χωρίς λόγια

Ποια σχέση αποδεικνύει το παρακάτω σχήμα;

$111111111^2$

Ποιο είναι το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού
$111111111^2$
2009 AMC
Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

1 - Η Άλγεβρα των Δεικτών του Ρολογιού

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που ο μικρός δείκτης συμπίπτει με το δευτερολεπτοδείκτη, ενώ ο μεγάλος είναι σε ευθεία γωνία με τους άλλους δύο;

Πέντε χωριά

Στο χωριό $Χ_0$ βρίσκονται $80$ εκδρομείς οι οποίοι πρόκειται να επισκεφθούν $5$ γειτονικά χωριά $Χ_1, Χ_2 , Χ_3 , Χ_4$ και $Χ_5$.
Καθένας από αυτούς έχει μία μόνο πρώτη επιλογή. Όμως, υπάρχουν περι­πτώσεις που για την επίσκεψη σε κάποιο χωριό υποχρεώνονται οι εκδρομείς να επισκεφθούν και ένα ή περισσότερα από τα υπόλοιπα χωριά.

8ο Μαθηματικό Καλοκαιρινό Σχολείο Ημαθίας - Σημειώσεις Α΄ Λυκείου

Τρίτη, 19 Ιουλίου 2016

Τα ψάρια

Τρείς φίλοι συμφώνησαν να πάνε την Κυριακή για ψάρεμα και το βράδυ να φάνε μαζί με τις συζύγους τα ψάρια που θα φέρουν.
Ο Θωμάς έφερε ένα ψάρι 3 κιλά, ο Σταύρος ένα ψάρι 5 κιλά και ο Χρήστος ένα ψάρι 40 κιλά το οποίο όμως πούλησε προς 30€ το κιλό. Το βράδυ αφού έφαγαν τα άλλα 2 ψάρια ο Χρήστος έδωσε στους φίλους του να μοιραστούν 80€. 
Πώς πρέπει να τα μοιράσουν; Είναι δίκαιο το ποσό που έδωσε στους φίλους του;