Πέμπτη, 26 Μαΐου 2016

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις - 8 Ωραία θέματα για εξετάσεις

Περιοδικό «Ευκλείδης Β΄» τ. 74

Θεσσαλικός κάμπος

O Θεσσαλικός κάμπος έχει έκταση $5. 100$ τετραγωνικά χιλιόμετρα και ο πληθυσμός της γης είναι 7 δισεκατομμύρια. Για να σταθεί όρθιος ένας άνθρωπος απαιτείται χώρος ενός τετραγώνου πλευράς $50$ εκατοστών.
Ερώτηση:
Χωράει όρθιος ο ανθρώπινος πληθυσμός στο Θεσσαλικό κάμπο;
Ξαπλωτός χωράει;   :)
Περιοδικό Ευκλείδης τ. 74

Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016

Εκπαιδευτήρια «Παναγία Προυσιώτισσα»: Θέματα εξετάσεων Μαΐου - Ιουνίου 2016 στα Μαθηματικά

Γ΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Β΄ ΛΥΚΕΙΟΥ 
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016 - Τα θέματα και οι απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 2016
ΗΜΕΡΟMHNIA
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ
ΔΕΥΤΕΡΑ 
16/5/2016
    ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ       (νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΕΤΑΡΤΗ 
18/5/2016
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
(νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΑΡΧΑΙΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
(νέο σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
(παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΑΡΧΑΙΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ
(παλαιό σύστημα)
ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 
20/5/2016
          ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ      (νέο σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΙΣΤΟΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ  (νέο σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ (παλαιό σύστημα)ΘΕΜΑΤΑΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

$χ=40^0$

Να αποδειχθεί ότι $χ=40^0$.

$χ=48^0$

Αν 
και

να αποδειχθεί ότι $χ=48^0$.

Τετράγωνα μόνα

Στην παρακάτω εικόνα τρία από τα τετράγωνα δεν συνδέονται με τα υπόλοιπα.
Ποια είναι;

Πέμπτη, 19 Μαΐου 2016

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Επαναληπτικές ασκήσεις

1. Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο $ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ)$ με $\angle{A}=108^0$ και η διχοτόμος του $ΓΔ$. Από το σημείο $Δ$ φέρνουμε την κάθετη στην διχοτόμο $ΓΔ$ που τέμνει την $ΒΓ$ στο σημείο $Ε $ και την προέκταση της $ΓΑ$ στο σημείο $Ζ$. Να αποδείξετε ότι:
α. Το τρίγωνο $ΖΕΓ$ είναι ισοσκελές
β. Το τρίγωνο $ΒΕΔ$ είναι ισοσκελές.
γ. $ΒΕ = ΔΑ$.

2. Δίνεται τραπέζιο $ΑΒΓΔ$ με $ΑΒ // ΓΔ$. Οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Α$ και $Δ $ τέμνονται στο σημείο $Η$ και οι εξωτερικές στο σημείο $Ε$. Επιπλέον οι εξωτερικές διχοτόμοι των γωνιών $Β$ και $Γ$ τέμνονται στο $Ζ$.

Andy Liu - Hungarian Problem Book III 1929 - 1943

Ιδιαίτερος μήνας

Υπάρχει μήνας του έτους που να έχει 5 Σάββατα, 5 Κυριακές και 5 Δευτέρες;
Αν ναι, ποιος από τους από τους μήνες της τελευταίας πενταετίας είχε αυτήν την ιδιαιτερότητα;

Τέλειοι αριθμοί

Οι αριθμοί, χαρακτηρίζονται ανάλογα με τις ιδιότητες τους πρώτοι, σύνθετοι, ρητοί, άρρητοι, τρίγωνοι, τετράγωνοι, φίλοι, τέλειοι κ.ά.
Στα στοιχεία του Ευκλείδη τέλειος είναι ο αριθμός που είναι ίσος προς τα μέρη του δηλαδή ο φυσικός αριθμός που είναι ίσος με το άθροισμα των διαιρετών του (χωρίς τον εαυτό του στους διαιρέτες). 
Παράδειγμα οι $1 ,2,3$ είναι διαιρέτες του $6$ με $1 + 2+ 3=6$ άρα ο $6$ είναι τέλειος. Το ίδιο και ο $28=1+2+4+7+14$ (Σε $6$ μέρες δημιουργήθηκε ο κόσμος, σε $28$ η σελήνη κάνει κύκλο γύρω από τη Γη). Μην ψάξετε δεν θα βρείτε εύκολα άλλους, οι επόμενοι είναι $496$ και $8128$.

Ανισότητες - 346η

Έστω $a, b, c$ θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε 
$a^2+b^2+c^2 = 1$. 
Να αποδειχθεί ότι
\[\frac{1}{(1-ab)^2} + \frac{1}{(1-bc)^2} + \frac{1}{(1-ca)^2} \leqslant \frac{27}{4}.\]
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Απόσταση Γης - Σελήνης

Αν ένα φύλλο χαρτί έχει πάχος ένα χιλιοστό και κάθε φορά το διπλώνουμε στη μέση, τι πάχος θα έχει όταν διπλωθεί 7 φορές; Πόσες φορές (αν μπορούσαμε) θα έπρεπε να το διπλώσουμε ώστε το πάχος του να υπερκάλυπτε την απόσταση Γης - Σελήνης;
(Η μέση απόσταση Γης -Σελήνης είναι 384.403 χιλιόμετρα)
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Τετάρτη, 18 Μαΐου 2016

Πανελλαδικές εξετάσεις 2016: Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Σχολιασμός των θεμάτων

Θέμα Α: Θεωρία.
Θέμα Β: Πολύ απλό θέμα διαφορικού λογισμού.
Θέμα Γ: Τα Γ1, Γ2 είναι στη φιλοσοφία των ασκήσεων και εφαρμογών του σχολικού και θεωρούνται βατά ερωτήματα. Το Γ3 θεωρείται επίσης βατό και το Γ4 μέτριας δυσκολίας.
Θέμα Δ: Το Δ1 είναι βατό θέμα που συνδυάζει γνώσεις από διάφορα κεφάλαια της ύλης. Το Δ2 είναι ένα βατό θέμα πάνω στις συναρτήσεις και τον διαφορικό λογισμό. Το όριο του Δ3 είναι αρκετά βατό καθώς είναι προφανής ο τρόπος επίλυσης (κριτήριο παρεμβολής). Η ανίσωση που ζητείται να αποδειχθεί στο Δ4 είναι επίσης βατή.
Σε γενικές γραμμές θα χαρακτήριζα τα θέματα ως τα ευκολότερα της τελευταίας 15ετίας.

Ο Gottfried Wilhelm Leibniz σε ηλικία 30 ετών

« ... Στα χρόνια 1680 - 1685, οι επιχειρηματίες που εκμεταλεύονται το βουνό Χαρτς έρχονταν σε αντιπαράθεση με έναν παράδοξο μεταλλωρύχο. Ο τριαντάχρονος τότε Λάιμπνιτς βρισκόταν στην περιοχή μελετώντας την χρήση των ανεμόμυλων ως μια επιπρόσθετη πηγή ενέργειας που να επιτρέπει την λειτουργία των ορυχείων όλο τον χρόνο. Σε αυτή τη στιγμή της ζωής του, ο Λάιμπνιτς είχε ήδη καταφέρει πολλά. Όχι μόνο είχε κάνει σπουδαίες ανακαλύψεις στα μαθηματικά, αλλά και είχε αποκτήσει φήμη ως νομοδιδάσκαλος και είχε γράψει πολλές μελέτες πάνω σε φιλοσοφικά και θεολογικά ζητήματα. Αντίθετα με τον Δον Κιχώτη, ο Λάιμπνιτς ήταν αθεράπευτα αισιόδοξος.

Δείκτες ρολογιού - 1

Υπάρχουν χρονικές στιγμές που συναντιού­νται και οι τρεις δείκτες του ρολογιού;
Προφανής απάντηση είναι, στις 12. 
Άλλες υπάρχουν;

INVERSION - Circle to Circle

Suppose now that P describes a circle C which does not pass through point O.
Theorem 12.1 The inverse of a circle not through O is a circle not through O.
Proof 
Let C be the circle described by P, M the inverse of O with respect to circle C, M' the inverse of M with respect to circle .
We show that the inverse P' of P describes a circle with centre M'.
Now (P, P'), (M, M') are inverse with respect to P, P', M', M are concyclic