Δευτέρα, 2 Μαΐου 2016

Κυρτότητα συνάρτησης

ΘΕΩΡΗΜΑ
Αν μια συνάρτηση $f$ είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $Δ$, τότε ισχύουν: 
- Η $f$ είναι κυρτή στο $Δ \Leftrightarrow f''  \geq 0$, για κάθε $χ\inΔ$. 
- Η $f$ είναι κοίλη στο $Δ \Leftrightarrow f''  \leq 0$, για κάθε $χ\inΔ$.
Σχόλιο:
Ο μηδενισμός της $f''$ συμβαίνει για μεμονωμένα σημεία του $Δ$ και όχι για ένα ολόκληρο υποδιάστημα $Δ_1\subseteq Δ$.
Κάντε κλικ εδώ,για να δείτε την απόδειξη.
Πηγή: Περιοδικό Ευκλείδης Β' τ.22 

Mathematical Olympiad Resources on the Web

 IMO and Other International Olympiad Resources 
IMO Problems Archive, maintained by John Scholes - all IMO problems with solution hints up to 2003
Site of IMO Scores, maintained by Joseph Myers - results and statistics of many years 
Canadian IMO Homepage - problems (1959-2000), some solutions and results, many links 

Η τελευταία ολοκληρωμένη επανάληψη στις Πανελλαδικές Εξετάσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού - Προτάσεις για όλα τα θέματα

Προτάσεις για 1ο Θέμα
Δείτε την Θεωρία σε 60 ερωτήσεις+απαντήσεις, όλους τους ορισμούς και τις αποδείξεις – ερωτήσεις Σωστού-Λάθους που έχουν ζητηθεί από το 2000 μέχρι σήμερα μαζί με τις απαντήσεις τους.
Προτάσεις για 2ο και 3ο Θέμα
Δείτε τις λύσεις-απαντήσεις σε όλες τις ασκήσεις του Ψηφιακού Σχολείου του Υπουργείου κατανεμημένες κατά κεφάλαιο για την συστηματική επανάληψη

Πύργοι σε σκακιέρα

Πόσα τετράγωνα (οποιουδήποτε μεγέθους) δεν περιέχουν τους πύργους που βλέπετε στην σκακιέρα;

Τα μαθηματικά αγχώνουν τα κορίτσια

Νέα μελέτη δείχνει ότι έχουν χειρότερες επιδόσεις 
στις εξετάσεις από τα αγόρια
Τα μαθηματικά φαίνεται ότι δημιουργούν άγχος στα κορίτσια ειδικά όταν πρόκειται να εξεταστούν σε αυτά.
Καθώς πλησιάζουν οι πανελλαδικές εξετάσεις και το...αγχόμετρο πάει να σπάσει σε πολλούς μαθητές και γονείς, μια νέα διεθνής επιστημονική έρευνα δείχνει ότι σχεδόν σε όλο τον κόσμο τα κορίτσια έχουν σαφώς μεγαλύτερο άγχος για τα μαθηματικά από ό,τι τα συνομήλικα αγόρια.

Balkan Mathematical Olympiad Shortlist 2015 - Προβλήματα Συνδυαστικής

C1. (Κύπρος- Δημήτρης Χριστοφίδης) 
Πρόβλημα 3o του Διαγωνισμού
Μία επιτροπή από κριτικούς κινηματογράφου ψηφίζει για τα Όσκαρ. Κάθε κριτικός ψηφίζει ακριβώς έναν ηθοποιό και ακριβώς μία ηθοποιό.
Μετά την ψηφοφορία διαπιστώθηκε ότι για κάθε θετικό ακεραίο υπάρχει κάποιος ηθοποιός ή κάποια ηθοποιός που ψηφίστηκε ακριβώς φορές. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν δύο κριτικοί που ψήφισαν τον ίδιο ηθοποιό και την ίδια ηθοποιό.

Κυριακή, 1 Μαΐου 2016

Χριστός Ανέστη!

Χριστὸς ἀνέστη ἐκ νεκρῶν,
θανάτῳ θάνατον πατήσας
καὶ τοῖς ἐν τοῖς μνήμασι
ζωὴν χαρισάμενος.

Δευτέρα, 25 Απριλίου 2016

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου - Επανάληψη για τις εξετάσεις. Η θεωρία σε μορφή ερωτήσεων καθώς και οι βασικές ασκήσεις ανά παράγραφο

$7+6=?$

Μαθηματικά κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου - Επανάληψη για τις εξετάσεις. Η θεωρία σε μορφή ερωτήσεων καθώς και οι βασικές ασκήσεις ανά παράγραφο

Τρίτη, 19 Απριλίου 2016

1ο Γενικό Λύκειο Γιαννιτσών - Διαγώνισμα προσομοίωσης στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ΄ Λυκείου (2016)

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου - Διαγώνισμα προσομοίωσης περιφέρειας Β. Αιγαίου 2016

17η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2016 - ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ

Δευτέρα, 18 Απριλίου 2016

Είμαστε πλούσιοι!

$1$ ευρώ = $100$ λεπτά
= $10$ λεπτά x $10$ λεπτά
= $\dfrac{1}{10}$ ευρώ x $\dfrac{1}{10}$ ευρώ 
= $\dfrac{1}{100}$ ευρώ 
= $1$ λεπτό

Άρα $1$ ευρώ = $1$ λεπτό.

 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

Γεωμετρία Α΄ Λυκείου - Μεθοδική επανάληψη

$\dfrac{49b^ 2 + 39bc + 9c^ 2} {a ^2}$ = ?

Aν για τους πραγματικούς αριθμούς $a,b,c$ ισχύουν
$a ^2 + ab + b^ 2 = 9 $
$b ^2 + bc + c^2 = 52$ 
$c ^2 + ca + a ^2 = 49$
να υπολογιστεί η τιμή του κλάσματος 
$\dfrac{49b^ 2 + 39bc + 9c^ 2} {a ^2}$.
ΜΙΤ - ΗARVARD Math Contest 2016
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     

The Contest Problem Books

      Book VIII       
         
        
Κάντε κλικ στα εξώφυλλα.

Διαφορετικοί ρητοί

Πόσοι διαφορετικοί ρητοί αριθμοί βρίσκονται στο διάστημα $(0,1)$ με παρονομαστή μικρότερο από $100$;