Εισήγηση στην 10η Μαθηματική Εβδομάδα 29-4-2018.
Δευτέρα, 9 Ιουλίου 2018
Root of Unity
th 
of the 
which are known as the de Moivre numbers. The notations 
, 
, and 
, where the value of 
is understood by context, are variously used to denote the 
th 
th root of unity.
, , and , where the value of is understood by context, are variously used to denote the th th root of unity.
is always an 
th root of unity, but 
is such a root only if 
is even. In general, the roots of unity form a regular polygon with 
sides, and each vertex lies on the unit circle.59th International Mathematical Olympiad 2018 - ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1η ΗΜΕΡΑ
Πρόβλημα 1ο
Έστω οξυγώνιο τρίγωνο 
και έστω 
ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία 
και 
βρίσκονται στα τμήματα 
και 
αντίστοιχα ώστε 
.
και έστω ο περιγεγραμμένος κύκλος του. Τα σημεία και βρίσκονται στα τμήματα και αντίστοιχα ώστε . 
Οι μεσοκάθετες των 
και 
τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία 
και 
αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες 
και 
είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
και τέμνουν τα μικρά τόξα και του στα σημεία και αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι οι ευθείες και είτε είναι παράλληλες είτε είναι οι ταυτόσημες.
Πρόβλημα 2ο
Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι 
για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί 
οι οποίοι ικανοποιούν
για τους οποίους υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν
Πυθαγόρειο θεώρημα - Απόδειξη 167η
Kάντε κλικ πρώτα στον παρακάτω σύνδεσμο:
και μετά κάντε κλικ στο σχήμα για να δείτε το αρχείο geogebra.Σάββατο, 7 Ιουλίου 2018
Tέσσερα κενά
Στα παρακάτω τέσσερα κενά τοποθετούμε έναν από τους αριθμούς $1,2,3,4$.
Πόσες διαφορετικές τιμές του αθροίσματος μπορούμε να πάρουμε;
AMC 10 2018
Μπορούμε να αποδείξουμε μία ταυτότητα απλά με αντικατάσταση;
Έστω η ταυτότητα:
$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$
Θεωρώ το πολυώνυμο
$𝑝(𝑥) = 𝑥^3 − 1 − (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1)$
τότε
$𝑝(0) = 0^3 − 1 − (0 − 1)(0^2 + 0 + 1) = 0 $
$𝑝(1) = 1^3 − 1 − (1 − 1)(1^2 + 1 + 1) = 0$
$𝑝(2) = 2^3 − 1 − (2 − 1)(2^2 + 2 + 1) = 0$
$𝑝(3) = 3^3 − 1 − (3 − 1)(3^2 + 3 + 1) = 0$
το πολυώνυμο $𝑝(𝑥)$ είναι ΤΡΙΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ και έχει ΤΕΣΣΕΡΙΣ ΡΙΖΕΣ, άρα $𝑝(𝑥) ≡ 0$, οπότε
$𝑥^3 − 1 = (𝑥 − 1)(𝑥^2 + 𝑥 + 1) !$
Παρασκευή, 6 Ιουλίου 2018
Πέμπτη, 5 Ιουλίου 2018
Two Trains Puzzle
Two trains are on the same track a distance 100 km apart heading towards one another, each at a speed of 50 km/h. A fly starting out at the front of one train, flies towards the other at a speed of 75 km/h.
Upon reaching the other train, the fly turns around and continues towards the first train. How many kilometers does the fly travel before getting squashed in the collision of the two trains?
Άθροισμα ψηφίων
Nα βρεθεί το άθροισμα των ψηφίων του γινομένου
$11 · 101 · 111 · 110011$.
Harvard-MIT Math Tournament 2018
Τρίτη, 26 Ιουνίου 2018
Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός: $12,14,15,16,18,20, -$
Ποιος είναι ο επόμενος αριθμός:
$12,14,15,16,18,20, -$
a) 22
b) 25
c) 21
d) 23
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
