ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ROLLE
Έστω ότι η $y = f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[a, b]$ και ότι έχει
παράγωγο στο διάστημα $(a, b)$. Αν $f(a) = f(b)$, τότε υπάρχει κάποιος $ξ$ στο $(a, b)$ ώστε
$f'(ξ) = 0$.
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (LAGRANGE)
Έστω ότι η $y = f(x)$ είναι συνεχής στο διάστημα $[a, b]$ και ότι έχει παράγωγο στο διάστημα $(a, b)$. Τότε υπάρχει
κάποιος $ξ$ στο $(a, b)$ ώστε
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΤΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (CAUCHY)
Έστω ότι οι $y =
f(x)$ και $y = g(x)$ είναι συνεχείς στο διάστημα $[a, b]$ και παραγωγίσιμες στο $(a, b)$ έτσι ώστε $g(a)\neq{g(b)}$ και ώστε σε κανένα $x$ του $(a, b)$ να μην ισχύει $f' (x) = g' (x) = 0$.
Τότε υπάρχει κάποιος $ξ$ στο $(a, b)$ ώστε
$\dfrac{f(b)−f(a)}{g(b)−g(a)} = \dfrac{f'(ξ)}{g'(ξ)}$.
Το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy) αποδεικνύεται βάσει του Θεωρήματος του Rolle, αλλά και το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange) είναι ειδική περίπτωση του Θεωρήματος Μέσης Τιμής (Cauchy).
Πράγματι, αν θεωρήσουμε την y = g(x) = x στο Θεώρημα Μέσης Τιμής (Cauchy), τότε προκύπτει το Θεώρημα Μέσης Τιμής (Lagrange).
Τα τρία αυτά θεωρήματα είναι ισοδύναμα.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου