Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Εγγραφή σε:
Σχόλια ανάρτησης (Atom)
Algebra, Geometry, International Mathematical Olympiads, Recreational Mathematics, Math contests, Puzzles, Brainteasers, Number Theory, Combinatorics, Logic, Paradox
Θεωρούμε τη συνάρτηση $g(x)=8e^{x/2} f(x)$ και παρατηρούμε ότι οι ρίζες της $f$ είναι ακριβώς οι ρίζες της $g$. Από το κανόνα γινομένου έχουμες ότι:
ΑπάντησηΔιαγραφή$$g'''(x)=e^{x/2}(f(x)+6f'(x)+12f''(x)+8f'''(x))$$
Συνεπώς η $g$ έχει τουλάχιστον $5$ διακεκριμένες ρίζες. Από το θεώρημα Rolle , γνωρίζουμε πως μεταξύ δύο διαδοχικών ριζών της συνάρτησης υπάρχει μία ρίζα της παραγώγου. Οπότε η $g'$ έχει τουλάχιστον $4$ διακεκριμένες ριζες και κατά συνέπεια η $g''$ τουλάχιστον $3$ και η $g'''$ τουλάχιστον $2$. Όμως οι ρίζες της $g'''$ είναι ακριβώς οι ρίζες της:
$$$f+6f'+12f''+8f'''$$
και κάπως έτσι τελειώσαμε.