Δίνεται κυρτό τετράπλευρο $ABCD$ με $\angle{ADC}=\angle{BCD}>90^0$. Έστω $E$ το σημείο τομής της ευθείας $AC$ με την ευθεία που διέρχεται από το σημείο $B$ και είναι παράλληλη στην ευθεία $AD$ και $F$ το σημείο τομής της ευθείας $BD$ με την ευθεία που διέρχεται από το σημείο $A$ και είναι παράλληλη στην ευθεία $BC$. Να αποδειχθεί ότι $EF\parallel{CD}$.
Austria Regional Competition (Advanced) 2002
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Έστω ότι οι AC, BD τέμνονται στο G. Είναι γωνία AGF=γωνία BGE ως κατακορυφήν, γωνία ADG=γωνία EBG και γωνία AFG=γωνία CBG, επομένως τα τρίγωνα AFG, BCG καθώς και τα ADG, BEG είναι όμοια. Άρα θα έχουμε AG/CG=FG/BG και EG/AG=BG/DG, οπότε με πολλαπλασιασμό των δύο παραπάνω ισοτήτων κατά μέλη προκύπτει ότι EG/CG=FG/DG, ή (EG-CG)/CG=(FG-DG)/DG, ή CE/CG=DF/DG, ή CG/DG=CE/DF. Οι ευθείες λοιπόν CD και EF ορίζουν στις EG και FG τμήματα ανάλογα, οπότε είναι παράλληλες. Η συνθήκη γωνία ADC=γωνία BCD>π/2 είναι περιττή για την επίλυση της άσκησης.
ΑπάντησηΔιαγραφή