Δευτέρα 3 Ιουνίου 2013

▪ Επιφάνειες $x,y,z$

Στο παρακάτω σχήμα, το τετράγωνο είναι πλευράς $2$. Με κέντρα τις κορυφές του και ακτίνα ίση με την πλευρά του γράφουμε τέσσερα τόξα.
Να βρεθεί το εμβαδόν των επιφανειών $x, y$ και $z$.
Αναρτήθηκε από στις 3.6.13
Ετικέτες , , ,

2 σχόλια:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS3 Ιουνίου 2013 στις 9:10 μ.μ.

    To μισό εμβαδόν Χ (λόγω συμμετρίας) μπορεί να υπολογιστεί με το ολοκλήρωμα:
    ∫(0 έως 1)(x2 –x1)dy
    Όπου : x^2 +y^2=2^2 (εξίσωση κύκλου, με αρχή αξόνων x-y κάτω δεξιά γωνία τετραγώνου, άξονας x κάθετα, άξονας y οριζοντίως), x2=1 ,
    x1=sqrt(2^2 –y^2)
    Άρα εμβαδό ,έστω S=∫(0 έως 1)(2 –sqrt(2^2 –y^2)dy
    S=2∫(0 έως 1)dy -∫(0 έως 1) sqrt(2^2 –y^2)dy
    To S2= ∫(0 έως 1) sqrt(2^2 –y^2)dy μετασχηματίζεται ως :
    y=2sinθ και dy=2cosθ dθ (για y=0 θ=0, για y=1 θ=π/6 (30μοιρες))
    Άρα S2=∫(0 έως 1) sqrt(2^2 –y^2)dy
    =∫(0 έως π/6)( sqrt{2^2 -2^2*sin^2(θ)}*20cosθ dθ
    =…=∫(0 έως π/6) (2cosθ*2cosθ)dθ=
    =(1/6)*(3ρίζα3 +2π)=1,91322..
    Άρα S=2*(y από 0 ως 1)-1,91322=2-1,91322=0,08678
    Άρα X=2S=0,17356
    Ισχύει επίσης: 4X+4Y+Z=4 (κάλυψη όλου του τετράγωνου)
    Ή: 4*0,17356+4Y+Z=4 (1)
    Eμβαδό τεταρτοκυκλίου:2X+3Y+Z=πρ^2/4
    Ή: 2*0,17356+3Y+Z=π*(4/4)=π (2)
    Το σύστημα (1),(2) δίνει:
    Y=0,511287
    Z=1,26061
    ΕΛΕΓΧΟΣ: 4*0,17356+4*0,511287+1,26061=3,999998 ..O.K.
    ΥΓ. Σωκράτη, αυτή το πρόβλημα είναι της Β'Γυμνασίου;; :-)
    Tώρα βέβαια, θα μου πεις μάλλον λύνεται και χωρίς ολοκληρώματα , μόνο με ευκλείδεια γεωμ. καιλίγη τριγωνομομετρία, άλλα όσο να πεις ..

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. ΕΥΘΥΜΗΣ ΑΛΕΞΙΟΥ4 Ιουνίου 2013 στις 1:59 π.μ.

    Εμβαδόν μεταξύ δύο τόξων:2*(π*2^2/4-2*2/2)=2.28185
    Τα 4 τόξα τεμνονταισε τρία τμήματα το καθένα που λόγω συμμετρίας είναι ίσα μεταξύ τους και νατιστοιχούν σε γωνία 30ο. Οι χορδές τους ισούνται με ρίζα(2^2+2^2-2*2*2*συν30ο)=1,035276
    και τα ύψη από τις κορυφές του τετραγώνου πάνω σε αυτά ισούνται με (1,035276/2)*εφ(90-15)=1,931851 (βγαίνει και με Πυθαγόρειο θεώρημα)
    Εμβαδόν καθενός από τα τεσσερα κυκλικα τμήματα που αντιστοιχουν στις χορδές μήκους 1,035276 Κυλικό τμήμα=κυκλικός τομέας-τριγωνο=π*(2^2)*30/360-1,035276*1,931851/2=0,047198.
    Εμβαδόν τετραγώνου που σχηματίζεται από τις 4 χορδές=1,035276^2=1,071796
    Από τους συνδυασμούς των παραπάνω έχουμε
    z=μικρό τετρ + 4 κυκλικά τμήματα= =1,071796+4*0,047198=1,26060
    y=(2,28185-1,26060)/2=0,51063
    x=(τετράγωνο-4*y-z=(4-4*0,51063-1,26061)/4=0,17422
    4*0,17422+4*0,51063+1,26060=4,00

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)