Τετάρτη 26 Ιουνίου 2013

▪ Ο ταχυδακτυλουργός

41η Διεθνής Μαθηματική Ολυμπιάδα 2000
 Διασκεδαστικά Μαθηματικά    www.eisatopon.blogspot.com     
Πηγή: telemath
Αναρτήθηκε από στις 26.6.13
Ετικέτες ,

1 σχόλιο:

  1. RIZOPOULOS GEORGIOS26 Ιουνίου 2013 στις 11:47 μ.μ.

    Ωραίο πρόβλημα Συνδυαστικής!
    Μια λύση είναι να κάνει μοναδικό(σαν διάστημα) το άθροισμα δύο κουτιών (δηλαδή των αριθμών που περιέχουν τα κουτιά) .
    Αν ας πούμε ΚΜΑ (Κ=Κόκκινο, Μ=Μπλε, Α=Άσπρο) βάζει το 1 στο Κ , το 100 στο Α και όλους τους υπόλοιπους αριθμούς στο Μ.
    Αν Σ=101 προφανώς είναι από Κ και Α (1+100) άρα το μεσαίο κουτί ,το Μ, δεν έβγαλε κάρτα.
    Αν Σ<=100 τότε το «μη-κουτί» είναι το 3ο , το Α. (1+{2 ή 3 ή…ή99}<=100)
    Αν Σ>101, τότε το «μη-κουτί» είναι το 1ο, το Κόκκινο. (2 ή 3 ή..ή 99+100>101)
    Οι μεταθέσεις ΚΜΑ είναι 3! =6 (ΚΜΑ,ΚΑΜ,ΜΑΚ,ΜΚΑ,ΑΚΜ,ΑΜΚ) ,άρα 6 είναι και οι δυνατοί τρόποι με αυτή τη μέθοδο.
    Μια άλλη λύση είναι να εκμεταλλευτούμε τα 3 κουτιά , που μας «υποβάλλουν» αριθμητική modulo 3. Π.χ για διάταξη ΚΜΑ βάζουμε τους αριθμούς διαδοχικά .
    Το 1 στο Κ, 2 στο Μ, 3 στο Α, 4 στο Κ, 5 στο Μ, 6 στο Α,…κ.λ.π. Στο Κ λοιπόν πάνε όλοι οι 1mod(3), στο Μ πάνε οι 2mod(3) και στο Α οι 0 (ή 3) mod(3).
    Oπότε, το κάθε άθροισμα ,ανάλογα αν είναι 0,1, ή 2 mod(3) μας δίνει μοναδικά το «μη-κουτί». Π.χ Σ=11 =2mod(3)σημαίνει Κόκκινο κουτί (άθροισμα κάποιου 0mod(3) και κάποιου 2mod(3)=2mod(3). Αν το Σ είναι 0mod(3) το «μη-κουτί» είναι αυτό που έχει όλους τους 0mod 3 ,κ.λ.π.
    Oμοίως με πριν, οι μεταθέσεις ΚΜΑ,…, είναι 6.
    Άρα σύνολο τρόπων τοποθέτησης καρτών: 6+6=12.
    To θέμα είναι βέβαια ότι πρέπει να αποδειχτεί ότι δεν υπάρχουν άλλοι, πέραν από αυτούς τους 12 τρόπους. Δεν βρίσκω άλλους, αλλά αυτό δεν είναι απόδειξη! Ίδωμεν…

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Εγγραφή σε: Σχόλια ανάρτησης (Atom)