Δίνεται ισόπλευρο τρίγωνο $ABC$. Έστω $D, E$ τυχαία σημεία των πλευρών $AB$ και $AC$ αντίστοιχα. Aν $DF, EG$ ($F∈AE,G∈AD$) είναι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου $ADE$, να αποδείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων $DEF$ και $DEG$ είναι μικρότερο ή ίσο από εμβαδόν του τριγώνου $ABC$. Επίσης να εξηγήσετε σε ποια περίπτωση ισχύει η ισότητα.
5η Μαθηματική Βαλκανιάδα Νέων 2001
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
Δίνεται κυρτό πολύγωνο με $1415$ πλευρές το οποίο έχει περίμετρο ίση με $2001$cm. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τρεις κορυφές αυτού του πολυγώνου, που σχηματίζουν τρίγωνο με εμβαδόν μικρότερο από $1$cm².
5η Μαθηματική Βαλκανιάδα Νέων 2001
Διασκεδαστικά Μαθηματικά www.eisatopon.blogspot.com
2o πρόβλημα:
ΑπάντησηΔιαγραφήAπό τα δεδομένα για το μήκος της περιμέτρου και την Αρχή του περιστερώνα, η μεγίστου μήκους Πλευρά(max) είναι ΚΑΤ'ΕΛΑΧΙΣΤΟΝ = 2001/1415 >2ρίζα2
Άρα οι υπόλοιπες 1414 πλευρές έχουν ολικό μήκος ΤΟ ΠΟΛΥ =2001-(2001/1415)=(2001*1415-2001)/1415=
=2001*1414/1415
Το υπό διερέυνηση τρίγωνο προφανώς (αν υπάρχει) θα σχηματιζεται απο 3 διαδοχχικές κορυφές που ορίζουν τις διαδοχικές πλευρές έστω α και β.
Υπάρχουν 707 ζεύγη διαδοχικών πλευρών(1414/2=707),άρα α+β<=(2001*1414/1415)*(1/707) ή α+β<=(2001/1415)*(1414/707) ή
α+β<=ρίζα2*2 (1)
Έστω Ε το εμβαδό του τριγώνου που σχηματιζουν οι α και β (π.χ ΑΒΓ για ΑΒ=α και ΒΓ=β)
Ισχύει: E=(1/2)*sin(B)*α*β
ρίζαΕ=(1/ρίζα2)*ρίζα(sin(Β))*ρίζα(α*β)
ή (λόγω sin(b)<1): ρίζαΕ<=(1/riza2)*(ρίζα(α*β))
Και από την ανισότητα Αριθμητικού και Γεωμετρικού Μέσου:
ριζαΕ<=<=(1/ρίζα2)*(ρίζα(α*β))<=(1/2ρίζα2)*(α+β)
Από (1): ρίζαΕ<(2ρίζα2)/(2ρίζα2)=1 Q.E.D